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 Definición de Serie
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos  como:

Donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir:


Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si   


 No existe o si tiende ainfinito; puede converger si 



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Serie Infinita
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
Son series de la forma S an (x - x0)n; los números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de laserie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an. xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros.Esto conduce al siguiente:

Teorema:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô.


Serie Finita
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) 
y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16,32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
 La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz 


 Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contienelos miembros (también llamados elementos o términos), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie talque ak > 0 (serie de términos positivos).
Si existe con, el Criterio de D'Alembert establece que:
§    si L < 1, la serie converge.
§    si L > 1, entonces la serie diverge.
§    si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
Criterio de Cauchy (raíz enésima)
Sea una serie, tal que ak >0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe, siendo 
Entonces, si:
§      L < 1, la serie es convergente.
§      L > 1 entonces la serie es divergente.
§      L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión

Serie de potencias

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una seriede la forma:


Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:


Radio de convergencia

Llamamos serie de potencias a toda expresión  del tipo
en donde  Es decir

 Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. 


Serie de Taylor
Una serie de Taylor es unarepresentación de una función como una infinita suma de términos. Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La...