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10/10/2013

ECUACIONES DIFERENCIALES Y MÉTODOS NUMÉRICOS - DENNIS G. ZILL

2. Métodos de resolución

(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

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No existe un método general para resolver ED’s, es
decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un
procedimiento para hallar su solución analítica.
Sin embargo, en algunos casos particulares bien
conocidos, sí se tienen procedimientos paracalcular
dicha solución.
El único "método" entonces consiste en saber
identificar el tipo de ED que se quiere resolver. Si es
un caso conocido, le aplicaremos el procedimiento
correspondiente. Si no es un caso conocido, podemos
intentar algún cambio de variable que la transforme
en un caso conocido.
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ECUACIONES DIFERENCIALES Y MÉTODOS NUMÉRICOS - DENNIS G. ZILLSeparación de variables
Una EDO de primer orden:

dy/dx = f(x,y) = g(x)h(y).

se dice que es separable o de variables separables.
En este caso, la ED dy/dx = g(x)h(y) puede resolverse
mediante integración directa. Integrando a ambos lados:

1
 h( y) dy   g ( x)dx  C
Nota: las dos constantes de integración se engloban en una.

Por ejemplo :

dy/dx  1  e 2 x ,
y 

 1 

e 2 x dx  x  ½ e 2 x  c
3

dy
x
  , y(4)  3
dx
y
Solución por separación
de variables:
Resolver

y2
x2
 ydy   xdx , 2   2  c1
(3) 2
42
25
   c1 , c1 
2
2
2
y   25  x 2

y   25  x 2

una solución en forma explícita con dominio de definición
I : -5 < x < 5.

También podemos dejar la solución en forma implícita como:
x2 + y2 = c2, donde c2 =2c1
Aplicando la condición inicial, 16 + 9 = 25 = c2;

x2 + y2 = 25.

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y
1 x
Solución: Como dy/y = dx/(1 + x), tenemos
Resolver

y' 

dy
dx

 y 1 x
ln y  ln 1  x  c1

| 1  x | 1  x,

x  1

| 1  x | (1  x), x  1
 



y  eln 1 x c1  eln 1 x  ec1  1 x ec1
 ec1 (1  x)
Sustituyendo  ec1 por c, obtenemos
y = c(1 + x).

¿Qué ocurre si no utilizamos
el valor absoluto en el logaritmo?
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Posible pérdida de una solución
Atención: cuando r es un cero de h(y), si sustituimos
y(x) = r en dy/dx = g(x)h(y), tenemos 0 = 0.
Es decir, y(x) = r también es solución de
dy/dx = g(x)h(y).
Sin embargo, esta solución no se revelará tras laintegración, puesto que:
dy/h(y) = g(x) dx
queda indefinido en el cociente (h(y = r) = 0).
y(x) = r es una solución singular.
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Resolver dy/dx = y2 – 4.
Separando variables, escribimos esta ED como:
1
 1

4
 4  dy  dx

 y  2 y  2
1
1
y2
ln y  2  y  2  x  c1 , ln
 4 x  c2 ,
4
4y2

dy
 dx;
2
y 4

y2
 e 4 x  c2 Sustituyendo exp(c2) por c y resolviendo para y:
y2
y2
1  ce 4 x
 e 4 x c2  ec2 e 4 x  ce 4 x ; y  2
y2
1  ce 4 x
Observemos que si factorizamos la EDO: dy/dx = (y + 2)(y – 2),
e igualamos a 0, obtenemos y =  2 como soluciones de equilibrio. y = 2 corresponde
a c = 0 en la solución que encontramos. Pero y = -2 es una soluciónsingular que no
podemos obtener de la solución anterior (observa las fracciones parciales al
comienzo para entender por qué).
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Resolver:

dy x 2  2 x

dx
sin y

dy x 2  2 x

 sin y dy   x 2  2 x  dx  0 
sin y
dx

 sin y dy    x

2

 2 x  dx  c 

1
 cos y  x3  x 2  c 
3
 1

y  x   arccos   x 3  x 2  c 
 3

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Resolver cos x(e2 y  y )
Solución:
Separamos variables:

dy
 e y sin 2 x, y (0)  0
dx

e2 y  y
sin 2 x
dy 
dx
y
cos x
e

Aplicamos la identidad sen (2x) = 2 sen x cos x:
 (ey – ye-y) dy = 2  sin x dx
Integrando por partes:
ey + ye-y + e-y = -2 cos x + c
Puesto que y(0) = 0, c = 4 y la solución implícita...