estudiante

Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados
Funciones de prueba continuas
por A. Brewer
1.1.

Introducción

Para establecer una descripción cuantitativa de un problema físico es necesario, en primer
lugar, plantear un sistema de ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) válidas
en cierta región (o dominio) y sujetas a determinadas condiciones iniciales y de borde. Ensegundo
lugar, se necesita resolver el sistema planteado. Las mayores dificultades surgen en esta instancia,
ya que sólo las ecuaciones más simples pueden ser resueltas en forma exacta. Las ecuaciones
diferenciales ordinarias con coeficientes constantes son uno de los pocos casos para los cuales
existen soluciones preestablecidas (aun en estos casos, la solución se complica considerablementecuando aumenta el número de variables dependientes).
Con el propósito de salvar estas dificultades y aprovechar las enormes ventajas de la computadora digital, se hace necesario replantear el problema matemático dándole una forma puramente
algebraica que involucre solamente las operaciones matemáticas básicas. Para lograr este objetivo,
el problema continuo debe ser discretizado, entendiéndose comotal el procedimiento en el que se
reemplazan los infinitos puntos en los que se necesita conocer la función incógnita por un número
finito de ellos, dando lugar a un número finito de parámetros desconocidos. Este proceso conlleva,
en general, cierto grado de aproximación.
Entre los distintos métodos utilizados para discretizar un problema nos referiremos a aquellos
que emplean distintasfunciones de prueba para materializar la aproximación y que se conocen
como métodos de elementos finitos.
Antes de continuar, nos detendremos en algunos problemas que servirán como base para ejemplos posteriores. Es imposible tratar en detalle el amplio rango de los problemas físicos, por lo que
se han elegido algunos pocos ejemplos para introducir los principios generales de la aproximación.

1.2.Ejemplos de ecuaciones diferenciales

1. Conducción del calor en un medio continuo
En la Fig. 1 se ha representado un problema de flujo de calor en un dominio bidimensional .
Si llamamos σ x y σ y el calor que fluye en las direcciones x e y por unidad de longitud y unidad de
tiempo, entonces la diferencia D entre el flujo que ingresa y egresa del elemento de tamaño dx dy
está dada por
D = dyσ x +

∂σ x
∂σ y
dx − σ x + dx σ y +
dy − σ y
∂x
∂y

(1.1)

Por conservación del calor, esta cantidad debe ser igual a la suma del calor generado en el elemento
en la unidad de tiempo, F dx dy, donde F puede variar con la posición y el tiempo (t), y al calor
absorbido en la unidad de tiempo debido al cambio de temperatura, −ρc (∂u/∂t) dxdy, en la que c
es el calor específico, ρ es ladensidad y u(x, y, t) es la distribución de temperatura. Esta condición
de igualdad conduce a la siguiente ecuación diferencial
∂σ x ∂σ y
∂u
+
− F + ρc
=0
∂x
∂y
∂t
que debe satisfacerse en todo el dominio,

(1.2)

, del problema.
1

Figura 1 Problemas continuos. Conduccion del calor en 2D
Introduciendo una ley física que gobierne el flujo de calor en un medio isótropo, se puedeescribir
para la componente del flujo en la dirección n
∂u
(1.3)
∂n
en la que k es una propiedad conocida como conductividad. Específicamente, la ec.(1.3) en las
direcciones x e y conduce a las siguientes:
σ n = −k

σ x = −k

∂u
∂x

σ y = −k

∂u
∂y

(1.4)

Las ecuaciones (1.2) y (1.4) definen un sistema de ecuaciones diferenciales en las incógnitas σ x, σ y
y u. Para resolver elproblema deben especificarse las condiciones iniciales para el tiempo t = to
(p.e., puede especificarse la distribución de la temperatura en todo el dominio ) y las condiciones
de borde en la superficie o borde Γ del dominio. Existen dos clases de condiciones de borde. Una
_
de ellas, aplicable al borde Γu , especifica los valores de la temperatura u(x, y, t), es decir
_

u−u =0

en Γu...