Estudiante

MAT 1105 F

Integración numérica
EJERCICIOS RESUELTOS

11.

Obtenga:

a) Integrando por el método del trapecio. Se utilizan las siguientes formulas:

Donde:

4

Ecuación lineal 2 Área del trapecio

Luego,
-1 -1 1 2

3

Reemplazando en la formula:

b) Integrando por el método de Simpson 1/3. Se utilizan las siguientes formulas:

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Pagina 1

Donde:

4

Se debe notar que para el método de Simpson 1/3 simple el valor de n es igual a 2.
2

Ecuación cuadrática

Luego,

Área

-1 -1

1

1.5

2

3

Reemplazando en la formula:

c) Integrando por el método de Simpson 3/8. Se utilizan las siguientes formulas:

Donde:

Se debe notar que para el método de Simpson 3/8 simple el valorde n es igual a 3.

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Pagina 2

Luego,

4

Ecuación cúbica 2 Área

-1 -1

1

4/3 5/3 2

3

Lo que se puede resumir en la siguiente tabla:

0 1 2 3

1 0.333333 0.666667 2

0.5 1.100092 2.020793 3.313708

Reemplazando en la formula:

Comparando con el valor obtenido analíticamente: exactitud de cada respuestaobtenida:

, se puede determinar la

Método
Trapecio Simpson 1/3 Simpson 3/8

Resultado
1.906854 1.646970 1.647045

Error
0.26 7.54·10-5 4.00·10-7

Como se puede ver los métodos de Simpson son más exactos que el método del trapecio.

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22.

Integre la siguiente función entre los límites a=-1 y b=1,utilizando 6 intervalos.

a) Integrando por el método del trapecio compuesto. Para reducir el error del resultado, se puede dividir el área de la integral en pequeños intervalos. Para luego aplicar las formulas conocidas en cada intervalo. Primero se puede obtener el ancho de intervalo (h):

El valor de “n” es el número de intervalos, o sea trapecio “n” puede tener cualquier valor.

Es importantenotar que para el método del

0 1 2 3 4 5 6 La integral dividida en los intervalos sería:

-1 -2/3 -1/3 0 1/3 2/3 1

-1 -0.666667 -0.333333 0 0.333333 0.666667 1

Aplicando la formula del método del trapecio se aplica en cada intervalo:

Factorizando:

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Pagina 4

Que se puede sintetizar en la siguiente formula:Graficando la función y los intervalos:

0.4

0.2

-1.5

-1

-2/3

-1/3

0 - 0.1

1/3

2/3

1

1.5

Para hallar los valores de tabla:

, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la siguiente

0 1 2 3 4 5 6 Reemplazando en la formula:

-1 -0.666667 -0.333333 0 0.333333 0.666667 1

0.241971 0.319448 0.377383 0.398942 0.377383 0.319448 0.241971

b)Integrando por el método del Simpson 1/3 compuesto. Se divide la integral en cada par de intervalos y luego se sumarán, de la siguiente forma:
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Graficando la función y los intervalos:

0.4

0.2

-1.5

-1

-2/3

-1/3

0 - 0.1

1/3

2/3

1

1.5

Aplicando la formula del método de Simpson 1/3 se aplica encada intervalo:

Factorizando y sintetizando la ecuación, se tiene la siguiente formula:

Luego desarrollando la formula para 6 intervalos:

Primero, se calculará el tamaño del intervalo:

Para hallar los valores de

, se evalúa la función en los puntos como se muestra en la tabla:

0 1 2 3 4 5 6

-1 -0.666667 -0.333333 0 0.333333 0.666667 1

0.241971 0.319448 0.377383 0.3989420.377383 0.319448 0.241971
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Reemplazando en la formula:

c) Integrando por el método del Simpson 3/8 compuesto. Se utilizan las siguientes formulas:

Con Es importante notar que para el método de Simpson 3/8, el número de intervalos “n”, solo puede ser un múltiplo de 3, o sea, 3, 6, 9, etc. Graficando el método se...