estudiante

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ
FACULTAD DE MATEMÁTICAS E INGENIERÍAS
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE ERRORES
ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Por Pervys Rengifo Rengifo


Eltérmino error de truncamiento generalmente se refiere al error involucrado al representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto. Esto se presenta particularmente cuando se utilizan series depotencia para aproximar funciones. Con el fin de ilustrar el concepto de error de truncamiento, se hará una descripción de la aproximación de funciones por medio de series de potencia, en particular,por medio de las series de Taylor y Maclaurin.

SERIES DE TAYLOR Y SERIES DE MACLAURIN
Sea f una función tal que ella y sus n primeras derivadas sean continuas en el intervalo cerrado [a,b], yademás fn+1(x) existe para todo x en el intervalo abierto (a,b). Sea xo[a,b]. Entonces, para todo x[a,b] existe un número  en el intervalo abierto (a,b) tal que:
donde , y se lee “n factorial”
Estose puede escribir como:

donde
y
a se le llama polinomio de Taylor de grado n de f alrededor de xo, y a se le denomina residuo o ERROR DE TRUNCAMIENTO.
La serie infinita que se obtiene altomar el límite de , cuando se conoce como SERIE DE TAYLOR de f alrededor de xo.
En el caso de que xo=0, el polinomio de Taylor se denomina POLINOMIO DE MACLAURIN.
El polinomio de Maclaurin degrado n para una función f sería:


y el error de truncamiento correspondiente:


EJEMPLO No. 1

Calcular el polinomio de Taylor de la función alrededor de xo=3, para n=0, n=1, n=2, n=3, n=4.Para n=0,
=20.0855369 es una constante(El polinomio de grado cero es una línea horizontal)
Para n=1,

, que es la ecuación de una línea recta

Para n=2,




, que es la ecuación deuna parábola.

Para n=3,




, que corresponde a un polinomio cúbico

Generalizando, entonces


Observe que , al tomar n como un número finito, se obtiene una aproximación de f(x), ya...