estudiante

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Universidad Andres Bello
Facultad de Ciencias Exactas
´
Departamento de Matematicas

C´lculo I (FMM033)
a
Gu´ I
ıa
N´ meros Reales
u
1. AXIOMAS Y PROPIEDADES DE CUERPO
En las siguientes aseveraciones, indique si son verdaderas o falsas. Justifique cada respuesta con un ejemplo o una propiedad. Nota Importante: Si su respuesta frente a una
pregunta del tipo “siempre ocurre talsituaci´n’´s “Verdadera’˜o basta con encontrar
o e
n
UN caso donde ocurre la situaci´n, sino se debe mostrar con una f´rmula general que
o
o
SIEMPRE ocurre. Del mismo modo, si frente a una pregunta del tipo ”puede ocurrir
tal situaci´n”su respuesta es ”Falsa”, significa que tal situaci´n NUNCA ocurre y
o
o
nuevamente no basta con encontrar UN caso donde no ocurre, sino una f´rmula que
oindica que NUNCA ocurre.
a) Todo n´mero real posee inverso multiplicativo.
u
b) Todo n´mero real posee inverso aditivo.
u
c) El inverso multiplicativo de 1 es 0.
d ) El inverso multiplicativo de 0 es 1.
e) Si el producto de dos n´meros reales es 0, entonces uno de los dos n´meros es el
u
u
0.
f ) Si el producto de dos n´meros reales es 1, entonces uno de los dos n´meros es el
u
u
1.
g)La suma de dos n´meros reales es distinta de ambos n´meros.
u
u
h) Si x2 = y 2 entonces x = y.
i) Dado un real x, siempre es posible encontrar otro real y tal que x ∗ y = 5.
j ) Dado un real x distinto de cero, siempre es posible encontrar otro real y tal que
x · y = 5.
k ) Si x2 = x, entonces x necesariamente es 1.
l ) Existen dos reales x e y tales que x + y = x − y.
A partir de losreales 0 (neutro aditivo) y 1 (neutro multiplicativo), indique la forma
de obtener los siguientes n´meros reales.
u

a) −2. Soluci´n: inverso aditivo de (1 + 1).
o
b) 0, 25. Soluci´n: inverso multiplicativo de (1 + 1 + 1 + 1).
o
c) −3, 5.
d ) 5.
e) 2/3.
f ) 32.
g) −0, 1.
h) 10.
u
a
2. Enuncie la propiedad de los n´meros reales que se est´ usando:
a) 2x + y = y + 2x.
b) c(a + b) =(a + b)c.
c) (x + y) + 5z = x + (y + 5z).
d ) 2(w + x) = 2w + 2x.
e) 3(5x + 1) = 15x + 3.
f ) (xy)z = x(yz).
g) (x + a)(x + b) = (x + a)x + (x + a)b.
h) a(x + y + z) = ax + ay + az.
u
o
e
3. Utilice las propiedades de los n´meros reales para escribir la expresi´n sin par´ntesis:
a) 3(x + y).
b) 8(a − b).
c) 4(2m).
d)
e)

1
(10z).
2
4
(−6y).
3

f ) −2(r + s).
g) − 5 (2x −4y).
2
4. Demuestre que si a + b = 0 ∧ a + c = 0, entonces b = c
5. La diferencia de dos numeros reales a y b la escribimos a − b y se define mediante
a + (−b). Demuestre que si x + a = b entonces x = b − a.
6. Demuestre que:
a) a · 0 = 0
b) a(−b) = (−ab) = (−a)b

c) (ab)−1 = a−1 · b−1
7. Decida en cada caso si la desigualdad es verdadera o falsa:
a) −6 < −10.
√
b) 2 > 1, 41.
c)

1011

<

12
.
13

d ) −π > −3.
e) 8 ≤ 8.
f ) 1, 1 > 1, ¯
1.
8. Escriba cada uno de los enunciados en t´rminos de desigualdades:
e
a) x es positivo.
b) t es menor que 4.
c) a es mayor que o igual a π.
d ) x es menor que

1
3

y es mayor que −5.

e) La distancia m´xima de p a 3 es 5.
a
9. Exprese el intervalo en t´rminos de desigualdades y graf´
e
ıquelo:
a) (−3, 0).
b)(2, 8].
c) [2, 8].
d ) [−6, 1 ].
2
e) [2, 5).
10. Use la relaci´n C = 5 (F − 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que
o
9
corresponde a 20 ≤ C ≤ 30.
11. ¿A qu´ rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50 ≤ F ≤ 95
e
?
12. Al elevarse el aire seco se expande y al hacerlo se enfr´ a una tasa de aproximadamente
ıa
1◦ C por cada 100 metros dealtura, hasta aproximadamente 12 km.
a) Si la temperatura a nivel de suelo es de 20◦ C, escriba una f´rmula para ´sta a
o
e
una altitud h.
b) ¿Qu´ rango de temperatura puede esperarse si un aeroplano despega y alcanza
e
una altura m´xima de 5 km?
a

13. Se estima que el costo anual de conducir un nuevo automovil est´ dado por la f´rmula:
a
o
C = 0, 35m + 2, 200
donde m representa...