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MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los tres lados del otro, y los tres ángulos de uno son respectivamente congruentes con los tres ángulos del otro. Es decir, dos triángulos son congruentes si tienen la mismaforma y tamaño. Si el 4ABC es congruente con el 4EDF , escribimos 4ABC = 4EDF .

En la …gura, 4ABC = 4EDF ya que AB = ED, BC = DF , AC = EF y ]A = ]E, ] B = ] D, ] C = ] F: Se puede probar que los siguientes criterios permiten determinar si dos triángulos son congruentes, sin necesidad de probar la congruencia de todos los lados y todos los ángulos.

Criterios de Congruencia Dos triángulos soncongruentes si: 1. Dos pares de lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos, son congruentes. Este criterio se conoce como L-A-L (Lado-Ángulo-Lado).

2. Los tres pares de lados correspondientes son congruentes. Se conoce como criterio L-L-L (Lado-Lado-

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Lado).

3. Un lado y los dos ángulos de los extremos de ese lado en un triángulo, son respectivamente congruentes conun lado y los dos ángulos de los extremos de ese lado, en el otro triángulo. Se conoce como criterio A-L-A (Ángulo-Lado-Ángulo).

Resultados importantes Si un triángulo ABC es isósceles entonces los ángulos de la base son congruentes.

Si AC = BC entonces ] = ]

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La bisectriz del ángulo vértice de un triángulo isósceles es también altura, mediana y mediatriz de la base.

Ejemplo SiABC es un triángulo rectángulo en A, BD es bisectriz del ]ABC y ]ACB = ]DBC, pruebe que CB = 2 AB.

Solución: Observemos que DBC es un triángulo isósceles. Llamemos ] al ]ACB. Construyamos una perpendicular al segmento BC que pase por el punto D: Llamemos E al punto de intersección de la perpendicular con el segmento BC , como se muestra en la siguiente …gura:

Como DBC es un triánguloisósceles, el segmento DE es la bisectriz de su ángulo vértice y entonces CDE = BDE, además son rectángulos, luego CE = BE. Como DBE y DBA son triángulos rectángulos tienen dos ángulos congruentes y el lado BD es común a ambos, luego, por el criterio A-A-L, son congruentes y entonces BE = AB. En resumen, tenemos que AB = BE = CE. Por lo tanto BC = BE + CE = AB + AB = 2AB.

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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSRazón es el resultado de comparar dos cantidades. La razón geométrica es el resultado de comparar dos cantidades por su cociente, y se puede escribir como una fracción o separando las cantidades por dos puntos. 7 Ejemplo: La razón geométrica de 7 a 3 se puede escribir como ó 7 : 3: 3 8 La razón de 8 a 4 es 2 ya que = 2. 4 Se llama Proporción al resultado de igualar dos razones. 7 14 Ejemplo: = esuna proporción. 3 6 Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. Es decir, si tienen la misma forma (pero no necesariamente el mismo tamaño).

Los triángulos ABC y DEF son semejantes y escribimos ] B = ]E ,] C = ]F y AB BC CA = = : DE EF FD Teorema de Thales

ABC s

DEF , si ]A = ]D,

Toda recta paralela a unlado de un triángulo y que intersecta los otros dos lados, determina un segundo triángulo semejante al primero. Si en ABC trazamos DEkAB, entonces ABC s DEC

Como en la congruencia, podemos utilizar criterios para probar la semejanza de triángulos sin necesidad de probar la congruencia de todos los ángulos correspondientes y la proporcionalidad de todos los lados correspondientes. Estos criteriosson:

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Criterios de semejanza Dos triángulos son semejantes si: 1. Dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos del otro triángulo. Se conoce como criterio A-A (Ángulo-Ángulo).

En el dibujo, ]A = ]D, ]B = ]E. Es claro que ]C = ]F . 2. Los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados correspondientes del otro triángulo. Se conoce como criterio L-L-L...