Estudiante

Capítulo 1

Números complejos
1.1.

Definiciones

Desde tiempo inmemorial, los números han sido asociados con longitudes, y debió haber sido
una terrible sorpresa el descubrir que algunas longitudes no están dadas por números racionales.
Lo anterior no se puede evitar, ya que la diagonal d de un cuadrado de lado igual al que satisface
d2 = 2, pero no existe número racional x quesatisfaga x2 = 2. La tenaz intuición nos hacía sentir
que cada longitud debería estar expresada por un número; esto condujo con el tiempo a una extensión de los números racionales para formar los números reales, los cuales nos permiten resolver la
ecuación x2 = 2, y en donde en realidad obtengamos todas las longitudes que la geometría requiere.
Otro problema de extensión se presenta por la ecuacióncuadrática ax2 + bx + c = 0, la cual se
resuelve mediante la expresión
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
En vista de que un número negativo no tiene raíz cuadrada real, esta fórmula no nos da un número
√
real x cuando b2 − 4ac < 0. No obstante, ¿asignaríamos un significado a b2 − 4ac si, por ejemplo,
b2 − 4ac = −1? ¿o, simplemente diríamos que no existen raíces en este caso? La respuesta es, una
√
vezmás ampliar el sistema numérico e incluir expresiones semejantes a −1. Esta expresión es
llamada un número imaginario, y la ampliación del sistema contiene combinaciones de éstos con
los números reales; dicha combinación se llama sistema de los números complejos.
Los nombres número complejo y número imaginario sugieren un cierto aire de misterio, en
notorio contraste con los conocidos númerosreales. El misterio se debe, muy probablemente, al
hecho de que los números reales satisfacen una necesidad geométrica muy clara, mientras que los
números complejos e imaginarios son introducidos por razones puramente algebraicas.
De lo anterior, nos sería muy natural concluir que los números complejos no son muy utilizados en aplicaciones de las matemáticas a situaciones físicas reales. Noobstante, la realidad es
que estos números constituyen una extraordinaria y potente herramienta tanto en las matemáticas
puras como en sus aplicaciones. Este capitulo dará solamente una visualización limitada de tales
aplicaciones y de los resultados que de ellas se deriven.
A los estudiantes se les enseña cómo realizar operaciones con estos números imaginarios por un
procedimiento puramenteformal; pero no se da ninguna explicación adecuada de los fundamentos
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CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS

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de estas operaciones con símbolos que, por sí solos, no tienen ningún significado. Probablemente
este procedimiento se justifica, por cuanto a la edad en que los estudiantes se encuentran por primera vez estos números imaginarios, no han desarrollado aún una suficiente facultad deabstracción
como para entender lo que realmente están tratando, y sólo puede esperarse que adquieran una
cierta destreza en las manipulaciones formales.
En vista de la insuficiencia del conjunto de los números reales, lo ampliaremos creando nuevos
entes, cada uno se compone de nuevos entes, cada uno de los cuales se compone de un par de números reales, de igual modo que todo número racional se componecon un par de números naturales.
Introduciremos el nuevo número i, la unidad imaginaria, que posee la propiedad de que su cuadrado sea igual a -1: i2 = −1. Admitiremos sin demostración que se pueden introducir los nuevos
números, llamados números complejos, de manera que uniéndolos con los ya conocidos números
reales, obtendremos un conjunto de números con los que se pueden realizar lasoperaciones aritméticas según las reglas ordinarias, y, además, entre los nuevos números se tendrá el número i. La
definición lógica de los números complejos y de las reglas para las operaciones con éstos, es una de
las dificultades fundamentales de este tema.
Por ejemplo, los números complejos se definen a menudo como: al número complejo se le llama
√
número de la expresión a + bi, donde a y b son...