estudiante

El Teorema de Stokes generaliza el Teorema de Green.
Teorema de Green
F · dr

rot(F ) · kdA

=

∂D

(1)

D

Ahora extendemos el resultado una dimensi´n mas.
o
Teorema de Stokes :Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, que est´ acotada por una
a
curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientaci´n es postivia. Sea F un campo vectorial
o
cuyascomponentes tienen derivadas parciales cont´
ınuas sobre una regi´n abierta en R3 que contiene a S.
o
Entonces
F · dr

rot(F ) · ndS

=

(2)

S

∂S

Observaci´n :
o
• El vector normales unitario
• Que una superficie est´ orientada positivamente quiere decir que si la superficie no es cerrada entonces la
e
tercera coordenada del vector normal es positiva, y si la superficie escerrada entonces el vector normal
debe apuntar hacia afuera de la regi´n.
o
• El caso particular en el que S est´ contenida en un plano paralelo al plano X − Y entonces tenemos el
a
Teorema de Green.Dem : demostraremos el caso en el que z = f (x, y)
insertar figura
Sea F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y), R(x, y)), para este campo sabemos que
rot(F )

=

∂R ∂Q ∂P
∂R ∂Q ∂P
−
,
−
,
−
∂y∂z ∂z
∂x ∂x
∂y

Adem´s si z = f (x, y) tenemos que n est´ dado por
a
a
−
n=
∂f
∂x

∂f
∂f
,− ,1
∂x
∂y
2

+

1

∂f
∂y

2

+1

rot(F ) · ndS.

Entonces desarrollamos
S−
rot(F ) · ndS

rot(F ) ·

=

S

D

2

∂f
∂x
−

=

∂f
∂f
,− ,1
∂x
∂y

D

=
D

+

∂f
∂y

∂f
∂x

2

2

+

∂f
∂y

2

+ 1dA

+1

∂R ∂Q ∂f
∂P
∂R ∂f
∂Q∂P
−
−
−
+
−
dA
∂y
∂z ∂x
∂z
∂x ∂y
∂x
∂y
∂R ∂P ∂f
∂Q ∂P
∂Q ∂R ∂f
−
+
−
+
−
dA
∂z
∂y ∂x
∂x
∂z ∂y
∂x
∂y

(3)

F · dr.

Ahora desarrollamos la integral
∂S

Siparametrizamos la curva C1 por

x = x(t)

; y = y(t)

; t ∈ [a, b]

Entonces la representaci´n de C = f (C1 )
o
x = x(t)

; y = y(t)

; z = f (x(t), y(t))

Con estas definiciones tenemos...