estudiante

PRODUCTOS NOTABLES

Mathema

Introducción:
Vamos ahora a ampliar el uso de las letras.
Pasaremos a utilizar las letras a, b, c,. . . etc.
para representar números cualesquiera. Así,
a + b representa la suma de dos números
cualesquiera, ab representa el producto de
dos números cualesquiera, y así por
delante.
¿La igualdad 2+5=5+2 es correcta? Claro
que sí. El hecho de que el orden delos
sumandos no altera la suma no vale
solamente para los números 2 y 5. Es
válido para números cualesquiera. Es la
propiedad conmutativa de la adición y se
escribe así
a+b=b+a
Tenemos así un ejemplo de una identidad.
En matemática, una identidad es una
igualdad que permanece verdadera
cualesquiera que sean los valores que sean
atribuidos a las letras. En este tema vamos
a conoceralgunas identidades muy
famosas de la matemática.
Para ilustrar las propiedades que veremos
es preciso recordar como se calcula el área
de un rectángulo.
El área de una figura es la medida de su
superficie. En el caso del rectángulo, el área
es el producto de sus dos dimensiones.
Entonces, llamando A al área de un
rectángulo de dimensiones a y b , tenemos

9. Si

Prueba geométrica de unaidentidad
algebraica:
El ejemplo siguiente, conocido desde
tiempos inmemorables, muestra claramente
el uso de las áreas de figuras geométricas
para “demostrar” identidades algebraicas.
Veamos una de las identidades más útiles
de la matemática.

e

y = 11 + 7 ,

entonces el valor de ( x + y )4 .( x − y )4 es
Rpta: 81
Esta fórmula quiere decir
que el cuadrado de una
suma de dosnúmeros es
igual al cuadrado del
primero, mas dos veces el
producto del primero por
el segundo, mas el cuadrado del segundo.

10. Efectuar
( 1 + 2 + 3 + 6 )( 1 − 2 − 3 + 6 ).
Rpta: 2
11. Simplifique la siguiente expresión.
⎛a+b− ⎞
( a 2 − b 2 − c 2 − 2bc ) ⎜ a + b + c ⎟ + b2 + 2ac
c⎠
⎝

PROBLEMAS
Rpta: a 2 + c 2
1
1
1. Si x + = 3 , halle el valor de x 4 + 4 .
x
x

Rpta: 47
2. Sib x + b − x =

3
1
, calcule el valor
+
2
2

12. Si a 2 + b 2 + c 2 = 5 , halle el valor de
(a + b + c) 2 + (a − b − c) 2
.
2(5 + 2bc )
Rpta: 1

Rpta: 1

13. Si se sabe que a + b + c = 20 y
a 2 + b 2 + c 2 = 300 , encuentre el valor
de (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 .

3. Si el polinomio f ( x) = 3x 2 − 12 x + 1 es

Rpta: 700

posible escribirlo como a( x + b) + c ,entonces el valor de abc es igual a

14. Si p − q − r = 2 y pq + pr = qr , halle

de b 4 x + b −4 x .

2

Área = ab
Observe que ab representa
el producto de dos números
cualesquiera; y si las
medidas a y b fueran
iguales, el rectángulo se transforma en un
cuadrado, mas la forma de calcular su área
continua igual ( A cuadrado = a.a = a 2 ).

x = 14 + 7

el valor de p 2 + q 2 + r 2 .Rpta: 66
4. Calcule el valor de

(

5+2+

5−2

) (
2

−

5+2−

5−2

)

2

−4

Rpta: 4
15. Si x + y = 2 y x 3 + y 3 = 3 , halle el valor
de xy .

Rpta: 0
5. Si
( x − 1 + x )2 − ( x − 1 − x )2 = 4
donde x > 1 . Calcule el valor de
x 4 − 3x 2 .

Rpta: 5/6
16. Si x 2 − x + 2 = 0 , calcule el valor de
8
x3 + 3 .
x
Rpta: −5

Rpta: −1
1
1
6. Si x + = 5 ,halle el valor de x − .
x
x

Rpta: 1 ∨ − 1

El cuadrado de una suma:

17. Si m = 3 2003 + 13 y n = 3 2000 + 13
halle el valor de m9 − 9m3n3 − n9 .
18. Si ( x 2 + y 2 )3 = ( x3 + y 3 )2 , halle el valor
2

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Consideremos el cuadrado de lado a + b ,
que está dividido en cuatro áreas menores:
dos cuadrados, uno de lado a y otro
menor de lado b , y dosrectángulos de
largo a y ancho b .
La suma de las áreas de estos cuadrados y
rectángulos es igual al área total del
cuadrado de lado a + b , es decir:

Prof.: Christiam Huertas R.

⎛ x y⎞
de ⎜ + ⎟ .
⎝ y x⎠

7. Calcule el valor de
(3333)2 (3334)(3332).

Rpta: 4/9
Rpta: 1

8. Halle el valor de

3+ 2
3− 2
+
.
3− 2
3+ 2

Rpta: 10

www.xhuertas.blogspot.com

19. Siendo m = 2 − 3...