Estudiante

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. SOLUCIONES
1. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a) 2 x − 8 = 2( x − 4)

Raíz = {4}

b) − 5x + 15 = −5( x − 3)
c) 5x − 25 = 5( x − 5)

Raíz = {3}
Raíz = {5}

13 

d) 4a + 13 = 4 a + 
4


 13 
Raíz = − 
 4

11 

e) 3x − 11 = 3 x − 
3


11
Raíz =  
3

f)

15  
5

6 x + 15= 6 x +  = 6 x + 
6 
2


 5
Raíz = − 
 2

24 
8


g) − 9 x + 24 = −9 x −  = −9 x − 
9
3


h) 2 x +

1
1

= 2 x + 
3
6


 1
Raíz = − 
 6

2
1

1
= −8 x −  Raíz =  
5
20 

 20 

i)

− 8x +

j)

3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2)

Raíces = {0,2}
Raíces = {0,4}

k) − 2 x 2 + 8 x = −2 x ( x − 4)
l)

8 Raíz =  
3

Raíces = {0 (doble), 3}

5 x 3 − 15 x 2 = 5 x 2 ( x − 3)

7 
Raiz =  
2

7

m) − 2 x 2 + 7 x = −2 x x − 
2


3

n) 5 x 4 − 3 x 3 = 5 x 3  x − 
5


3

Raíces = 0 (triple), 
5


7
1


o) 14 x 2 + 7 x = 14 x x +  = 14 x x + 
14 
2


7

p) 6 x 2 + 7 x = 6 x  x + 
6


1

Raíces = 0 , − 
2
 7
Raiz = − 
 6

q) − 3 x 3 + 12 x 2 = −3 x 2 ( x − 4)
r)

− 2 x 3 − 4 x 2 = −2 x 2 ( x + 2)

s)

14 23 13
x + x = x ( x + 2)
3
3
3

Raíces = {0 (doble), 4}
Raíces = {0 (doble), − 2}
Raíces = { 0 (triple), − 2 }

2. Factoriza los siguientes polinomios e indica las raíces en cada caso:
a)

x 2 − 7 x + 10

1) Hallamos las raíces del polinomio

7+3

x=
⇒ x=57 ± (−7) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 10 7 ± 49 − 40 7 ± 9 7 ± 3 

2
x 2 − 7 x + 10 = 0 ⇒ x =
=
=
=
=
2 ⋅1
2
2
2
x = 7 − 3 ⇒ x = 2

2


Raíces = {5,2}

2) Factorización: x 2 − 7 x + 10 = ( x − 5)( x − 2)

b) x 2 − 7 x − 1 8
1) Hallamos las raíces del polinomio

7 + 11

x=
⇒ x=9

7 ± (−7) − 4 ⋅ 1 ⋅ (−18) 7 ± 49 + 72 7 ± 121 7 ± 11 
2
2
x − 7 x − 18 = 0 ⇒ x =
=
=
=
=
2⋅1
2
2
2
 x = 7 − 11 ⇒ x = −2

2

2
Raíces = {9,−2}
2) Factorización: x − 7 x − 18 = ( x − 9)( x + 2)
2

c) 3x 2 − 6 x − 9
1) Hallamos las raíces del polinomio

6 + 12

⇒x=3
x=

6 ± (−6) − 4 ⋅ 3 ⋅ (−9) 6 ± 36 + 108 6 ± 144 6 ± 12 
6
2
3x − 6 x − 9 = 0 ⇒ x =
=
=
=
=
2⋅3
6
6
6
 x = 6 − 12 ⇒ x = −1

6

2
Raíces = {3,−1}
2) Factorización: 3 x − 6 x − 9 =3( x − 3)( x + 1)
2

d) 3 x 2 − 5 x + 2
1) Hallamos las raíces del polinomi


x=
5 ± (−5) − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 

2
=
=
=
=
3x − 5 x + 2 = 0 ⇒ x =
2⋅3
6
6
6
x =


2

2

2) Factorización: 3x 2 − 5 x + 2 = 3( x − 1) x − 
3


e)

5 +1
⇒ x =1
6
5 −1 4
2
= ⇒x=
6
6
3

 2
Raíces = 1 , 
 3

2x 2 + x + 3

1) Hallamos lasraíces del polinomio
2x 2 + x + 3 = 0 ⇒ x =

− 1 ± (1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3
2⋅2

2) Factorización: ( 2 x 2 + x + 3) es irreducible

=

− 1 ± 1 − 24 5 ± − 23
=
= no tiene solución real
4
4

f)

x 2 + x − 20

1) Hallamos las raíces del polinomio

−1+ 9

x=
⇒x=4
− 1 ± (1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−20) − 1 ± 1 + 80 − 1 ± 81 − 1 ± 9 

2
2
x + x − 20 = 0 ⇒ x =
=
=
=
=
2 ⋅1
2
2
2
 x= − 1 − 9 ⇒ x = −5

2

2) Factorización: x 2 + x − 20 = ( x − 4)( x + 5)

Raíces = {4,−5}

g) 6 x 2 + x − 1
1) Hallamos las raíces del polinomio

−1+ 5
1

 x = 12 ⇒ x = 3
− 1 ± (1) − 4 ⋅ 6 ⋅ (−1) − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 25 − 1 ± 5 
6x 2 + x − 1 = 0 ⇒ x =
=
=
=
=
2⋅6
12
12
12
x = − 1 − 5 ⇒ x = − 1

12
2

2

1 
1

2) Factorización: 6 x 2 + x − 1 = 6 x − x + 
3 
2


1
1
Raíces =  , − 
2
3

h) 2 x 2 − 7 x − 1 5
1) Hallamos las raíces del polinomio

7 + 13

x = 4 ⇒ x = 5
7 ± (−7) − 4 ⋅ 2 ⋅ (−15) 7 ± 49 + 120 7 ± 169 7 ± 13 
2 x 2 − 7 x − 15 = 0 ⇒ x =
=
=
=
=
2⋅2
4
4
4
 x = 7 − 13 ⇒ x = − 3

4
2

3
3


Raíces = 5 , − 
2) Factorización: 2 x 2 − 7 x − 15 = 2( x + 5) x + 
2
2

...