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Introducción
Las funciones, han sido utilizadas en la matemática mucho antes de que nosotros estuviésemos aquí. El uso de las funciones es algo básico en las matemáticas, y por eso en esta investigación se analiza y estudia a las funciones. Pero en este especifico caso, nos fijaremos en las funciones inversas, que son también tan básicas como las funciones normales.Objetivos
-Llegar a comprender el uso de las funciones inversas.
-Poder usar las funciones inversas en problemas de aplicación.
-Alcanzar a comprender su uso y su estudio.

















Para determinar si una función tiene inversa tenemos que observar sus pares y ver si es inyectiva. Esto es muy fácil de hacer cuando la funciónviene dada por una lista de pares. Cuandola función viene definida por una propiedad, todo se complica y no siempre tendremos suficientes conocimientos matemáticos para determinar tal circunstancia (del mismo modo que nos pasaba cuando queríamos determinar si un determinado conjunto era o no función).
La representación gráfica de la función nos permitirá saber si la función tiene inversa o no, al menos en los casos más comunes. Bastaobservar que la definición de función inyectiva significa, gráficamente, que no hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta horizontal. O dicho de otra forma, a partir de la representación gráfica de f, se construye la representación gráfica del conjunto de pares invertidos y se observa si este conjunto es función o no.
En matemáticas, si f es una aplicación o función que llevaelementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1 que realice el camino de vuelta de Ja I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
Definiciones formales
Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la funciónrecíproca o inversade f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
y
.
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
Definiciones alternativasDadas dos aplicaciones y las propiedades:
y
,
Entonces:
Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usacomo definición de función inversa.
Notación alternativa
La notación tradicional puede ser confusa, ya que puede dar a entender . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:
.
Propiedades algebraicas
La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por lafórmula

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .
Propiedades analíticas de funciones reales de unavariable
Continuidad
f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.
Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
Gráfica de la función inversa...