Estudiante

SOBRE LAS ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

CARLOS S. CHINEA

SOBRE LAS ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

Son condiciones de gran importancia en la teoría de las funciones analíticas y en las
aplicaciones de estas funciones a la física. Desde un punto de vista histórico fueron
tratadas ya en el siglo XVIII por D’Alembert. Euler las desarrolló en sus trabajos de
aplicación a la mecánica defluidos, a la cartografía y al cálculo integral.
Son las llamadas Ecuaciones de Cauchy-Riemann, aunque, realmente habrían de
llamarse, más apropiadamente, Ecuaciones de D’Alembert-Euler.

01. Introducción

f : C → C se dice holomorfa o analítica en un recinto D ⊆ C si
es derivable respecto a la variable compleja en todo punto z ∈ D .
Una función compleja

f : D → C analítica en D ⇔ ∀z 0 ∈ D, f( z ) derivable en z 0

z y f ( z ) se expresan binómicamente descompuestas en parte real y parte imaginaria:
z = x + iy , f ( z ) = F ( x, y ) + i.G ( x, y )
Ejemplos:
1) f ( z ) = z + 3 z , se tiene:
2

f ( z ) = ( x + iy ) 2 + 3( x + iy ) = x 2 − y 2 + 3 x + i (2 xy + 3 y )
es decir, en este caso las partes real e imaginaria de la función vienen dadas por

F ( x, y ) = x 2 − y 2 + 3x
G ( x, y ) = 2 xy + 3 y
2)

f ( z) =

z −1
, y la descomposición es:
z

1

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f ( z) =

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x2 + y2 − x
y
+i 2
2
2
x +y
x + y2

por lo cual:

x2 + y2 − x
x2 + y2
y
G ( x, y ) = 2
x + y2

F ( x, y ) =

02. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Se verifican las siguientes igualdades entre las derivadas parcialesde las partes real F
e imaginaria G de la función analítica f ( z ).

∂F ∂G
=
∂y
∂x
∂F
∂G
=−
∂y
∂x
Ejemplos:
Retomando los dos ejemplos anteriores, veamos que se verifican estas ecuaciones:
1) f ( z ) = x − y + 3 x + i ( 2 xy + 3 y ) ⇒
2

2

F ( x, y ) = x 2 − y 2 + 3 x
G ( x, y ) = 2 xy + 3 y

Las derivadas parciales son

∂F
∂G
= 2y
= 2x + 3
∂x
∂x
, ∂G
∂F
= 2x + 3= −2 y
∂y
∂y
obviamente, se verifican las ecuaciones:

∂F ∂G
= 2x + 3
=
∂y
∂x
∂F
∂G
=−
= −2 y
∂y
∂x

2

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2) f ( z ) =

x +y −x
2

2

x2 + y2

+i

F ( x, y ) =

y
x2 + y2

⇒
G ( x, y ) =

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x2 + y2 − x
x2 + y2
y
x2 + y2

Las derivadas parciales son ahora

− 2 xy
∂G
x2 − y2
∂F
=
=
2
2
2∂x
x + y2
x 2 + y 2 , ∂x
∂G
2 xy
x2 − y2
∂F
=
=
2
2
∂y
∂y
x2 + y2
x2 + y2

(

)

(

)

(

)

(

)

verificándose también ambas ecuaciones:

∂F ∂G
x2 − y2
=
=2
∂x
∂y ( x + y 2 ) 2
∂F
∂G
2 xy
=−
=2
∂y
∂x ( x + y 2 ) 2

03. Demostración:
Veamos un par de maneras de probar las condiciones de Cauchy-Rieman, primero por
aplicación directa de la definiciónde derivada compleja, y en segundo lugar, mediante
el uso de diferencias finitas.
a) Por aplicación directa de la definición de derivada compleja:
La expresión de la derivada de la función compleja

f ( z ). es

df ( z )
f ( z + h) − f ( z )
= lim
dz
h
h→0
Siendo h, incremento de la variable independiente z, real o bien imaginario:
- Si es

h ∈ R, z + h = x + h + iy , con lo cuales:

3

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df ( z )
f ( z + h) − f ( z )
F ( x + h, y ) + iG ( x + h, y ) − (F ( x, y ) − iG ( x, y ) )
= lim
= lim
=
dz
h
h
h→0
h→0
G ( x + h, y ) − G ( x, y ) 
 F ( x + h, y ) − F ( x, y )
= lim 
+i
=
h
h


h→0
F ( x + h, y ) − F ( x, y )
G ( x + h, y ) − G ( x, y )
+ i lim
=
h
h
h→0
h→0
∂F ( x, y )∂G ( x, y )
=
+i
∂x
∂x

= lim

- Si es

h = it ∈ C , t ∈ R, z + h = x + i ( y + t ) , verificándose ahora:

df ( z )
f ( z + h) − f ( z )
F ( x, y + t ) + iG ( x, y + t ) − (F ( x, y ) − iG ( x, y ) )
= lim
= lim
=
dz
h
ih
h→0
h→0
G ( x , y + t ) − G ( x, y ) 
 F ( x, y + t ) − F ( x, y )
= lim 
+i
=
ih
ih


h→0
G ( x, y + t ) − G ( x, y )
F ( x, y + t...