Estudiante

TEMA 1: LÍMITS I CONTINUÏTAT DE FUNCIONS

1. EL CONCEPTE DE LÍMIT GRÀFICAMENT
1. Límits a l’infinit
A les següents figures estudiem el comportament de la funció quan les x es fan molt grans i quan les x se’n van a - ∞. Deduïm els límits a l’infinit. Observem que aquests límits poden donar un nombre o infinit




[pic] FIG.1
[pic]
Figura 2
2. [pic]Fig 3[pic] Figura 4
























3. Límits en un punt


[pic]
Buscar límits en x = 3, x = 1, x = 0
[pic]



A la figura 1 ens preguntem pel comportament de la funció al voltant de x = 2.5 i observem un nou tipus de límit: límit en un punt. En aquest cas el resultat és ∞.
A la figura 2 busquem el límit en el x = 0 i observem que dóna un nombre.Fer l’exercici 1

2. EL CONCEPTE DE LÍMIT ANALÍTICAMENT

a. Concepte de límit en un punt

A la introducció del tema hem vist una idea intuïtiva del concepte límit que s’aplicava quan fèiem tendir la x cap a un valor concret. Aplicarem aquesta mateixa idea per calcular alguns límits senzills, a més utilitzarem unes taules per facilitar la feina.

Exp: Sigui f(x) = [pic]a) Límit de f(x) en x = 1


|x |0.9 |0.99 |0.999 |... |[pic]1 |
|f(x) |-0.1234568 |-0.0010203 |-0.001002003 |... |[pic] |



|x |1.1 |1.01 |1.001 |... |[pic]1 |
|f(x) |0.0826446|0.00980296 |0.0.000998 |... |[pic] |

Aquesta tendència en les imatges ens indica : [pic]


b) Podríem fer el mateix quan x = 3 i veuríem que : [pic]


c) Fent el mateix en x = 2 observem:

[pic] .

d) Fixem-nos ara en què passa si agafem un punt que no pertanyi al domini. És a dir, busquem el límit a x = 0.

|x|-0.1 |-0.01 |-0.001 |... |[pic]0 |
|f(x) |-110 |- 10100 |-1001000 |... |[pic] |



|x |0,1 |0,01 |0,001 |... |[pic]0 |
|f(x) |-90 |-9900 |-999000|... |[pic] |


Per tant podem dir que: [pic]



e) Busquem finalment el límit de f(x) en x = -1, que tampoc pertany al domini.
En aquest cas es pot comprovar que [pic]

En conclusió: A partir d’una taula de valors podem trobar el límit d’una funció en x = a, tant si pertany al domini com si no.



b. El concepte analític delímit a l’infinit

Es tractaria de seguir un mètode semblant, però en aquest cas s’hauria de buscar les imatges de valors molt grans o molt petits

Tot això,però només ens permet entendre el concepte de límit, però per fer el càlcul d’aquesta manera seria molt pesat. Hem de buscar estratègies pel càlcul de límits i ho farem per a cada tipus de funció per separat, i distingint si busquem límit al’infinit o en un punt


CÀLCUL DE LÍMITS

3. LÍMIT D’UNA FUNCIÓ A L’INFINIT

Si observem el comportament d’una funció a mesura que els valors de x creixent és a dir, tendeixen a l’infinit trobarem aquest tipus de límit. Veurem alguns casos per separat i traurem conclusions:

a) Límit d’una funció polinòmica
Exp 1. [pic] (3 + 2x – x2) = [pic](- x2) = - [pic]
[pic] (3 + 2x –x2) = [pic](- x2) = - [pic]


En aquest cas podem expressar [pic] (3 + 2x – x2) = - [pic]
Si representem gràficament la funció f(x) = 3 + 2x – x2, veurem que
efectivament els dos límits a l’infinit són - [pic].La gràfica té dues branques parabòliques negatives


Exp2: [pic] (x3 –3x2) = [pic](x3) = - [pic]
[pic] (x3 –3x2) = [pic](x3) = + [pic]...