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 Metodo de Euler – Metodo de la tangente
El Metodo de Euler o de las Tangentes constituye el primer y mas sencillo ejemplo de
metodo numerico para la resolucion de un problema de valor inicial:
y0= f(x; y); y(x0) = y0
donde suponemos ademas que se verifcan las hipotesis del Teorema de Picard
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, y en
consecuencia existe solucion unica para el problema.
Interpretando la e.d.o. y
0 =f(x; y) como un campo de direcciones en el plano
x ¡ y y la condicion inicial y(x0) = y0 como un punto (x0; y0) de dicho plano, podemos
aproximar la funcion solucion y(x) por medio de la recta tangentea la misma que pasa
por ese punto:
y(x) =» y0 + f(x0; y0)(x ¡ x0)
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Consideraremos en general que la funcion f(x; y) es diferenciable en un entorno del punto (x0; y0). Si
bien es cierto que setrata de una condicion mas restrictiva de lo estrictamente necesario, en la practica
trabajaremos siempre con funciones de ese tipo.
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donde se ha utilizado que la pendiente de dichatangente es: m = y
0
(x0) y, en conse-
cuencia: m = f(x0; y0).
Calculamos asi de manera aproximada el valor de la solucion y en el punto de abscisa
x1 como:
y(x1) =» y1 = y0 + f(x0; y0)(x1 ¡ x0)
ycon este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el metodo para obtener
otro punto aproximado (x2; y2) de la forma:
y(x2) =» y2 = y1 + f(x1; y1)(x2 ¡ x1)
y asi sucesivamente.
Es habitualen este metodo tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la
solucion aproximada en puntos de la forma: xn = xn¡1 + h = x0 + nh, siendo h el
paso del metodo. De esta forma se obtienen lasformulas que nos determinan la solucion
aproximada en la forma:
xn = xn¡1 + h; yn = yn¡1 + f(xn¡1; yn¡1) h
Desde el punto de vista geometrico, tenemos en definitiva que el Metodo de Euler
aproxima ala funcion solucion por medio de una linea poligonal, la aproximacion sera
tanto peor cuanto mayor sea en numero de pasos, es decir, cuanto mas \lejos" nos
encontremos del punto inicial (x0; y0)....