estudiante

Intervalos
Intervalo Cerrado. [a , b]={ x / x∈ R , a≤x≤b }
a

b

a

b

a

b

Intervalo Abierto.  a , b  ={ x / x∈ R , axb }
a
Intervalo semi abierto

b

[ a , b )={x / x ∈R ,a≤xb}
a

b

a

b

Otros casos
[ a ,∞ )={x / x ∈ R , x≥a}
a

a

(−∞ , a )={x / x ∈ R , x a }
a
Entornos:
De centro a y radio r :

E a , r=( a−r , ar )
a-r

a

a+r

a-ra

a+r

Reducido
E a ,r −{a }=E *a ,r =( a−r , ar )−{a }
a-r

a

a+r

a-r

a

a+r

Semientorno derecho E +a ,r =[ a , ar )
a
Semientorno izquierdo

a+r

a

a+r

E -a ,r=( a−r , a ]
a-r

a

a-r

a

Definiciones en R
Cota superior. Un conjunto A no vacío de números reales está acotado superiormente si y solo si
existe un k ∈R tal que todo elemento de A esmenor o igual que k .
Acotado inferiormente si ... mayor o igual que h∈ R
Un conjunto A no vacío de números reales está acotado si está acotado inferiormente y
superiormente
Extremo Superior(supremo). Es la menor de las cotas superiores
Extremo Inferior (ínfimo). Es la mayor de las cotas inferiores
Máximo. Es el supremo si este pertenece al conjunto
Mínimo. Es el ínfimo si este perteneceal conjunto
Ejemplos
1) A={x / x ∈R , 2x 6}

una cota superior es 8, una cotas inferior es 1
2
6
Conjunto de las cotas superiores es C s =[ 6 ,∞ ) , el de las inferiores C i=( −∞ , 2 ]extremo superior e s ={6 }
extremo inferior e i={2}
No tenemos ni máximo ni mínimo ya que ni el 2 ni el 6 pertenecen al conjunto
2)

B={x / x∈R , 2≤ x}

C s ={ } , e s

una cota inferior es -5
2no tiene y máximo tampoco C i=(−∞ , 2 ] , e i=2 y mínimo=2

3) C={x / x ∈R+ , x 2 2}

C s =[ 2 ,∞ ) , e s =2 , no tiene mínimo,

C i=(−∞ , 0 ] , e i=0 y no tiene máximo

En este último casose aplicó el axioma de completitud.
Axioma de completitud. Todo conjunto no vacío, incluido en los reales, acotado superiomente
tiene supremo.
Se deduce de este axioma que también todo conjunto...