Estudiante

Problemas de Polinomios

P1. Sean x, y, z n´meros reales tales que
u
x + y + z = 2,

xy + yz + xz = −1,

xyz = −2

Hallar el valor de las siguientesexpresiones:
a) x2 + y 2 + z 2

b) x3 + y 3 + z 3

c) x4 + y 4 + z 4

P2. Calcular a, b ∈ R para que ax4 + bx3 + 1 sea divisible por x2 + 2x + 1.
P3.Hallar a, b ∈ R para que p(x) = x5 + ax3 + b tenga una ra´ real m´ltiple.
ız
u
P4. Sabemos que una de las ra´
ıces del polinomio de coeficientes reales p(x)=
x3 + ax2 + bx + c es la suma de las otras dos. Demostrar que a3 − 4ab + 8c = 0.
P5. ¿Existe alg´n polinomio p(x) que cumpla que x p(x − 1) = (x + 1)p(x)para
u
cualquier valor de x ∈ R?
P6. Dado s ∈ R, consideremos el polinomio p(x) = 3x2 + 3sx + s2 − 1 y supongamos que α y β son sus ra´
ıces. Probar quep(α3 ) = p(β 3 ).
P7. Consideremos el polinomio p(x) = x3 + ax2 + bx + c de coeficientes reales
y supongamos que el cuadrado de una de sus ra´
ıces es igual alproducto de las
otras dos. Probar que a3 c = b3 .
P8. Si sabemos que la ecuaci´n x3 + 2λx2 − λx + 10 = 0 tiene tres soluciones
o
reales que est´n enprogresi´n aritm´tica (λ es un par´metro y x es la inc´gnita),
a
o
e
a
o
hallar estas tres soluciones.
P9. Sabemos que el polinomio p(x) = x3 −x+k tiene tresra´ que son n´meros
ıces
u
enteros. Hallar los posibles valores de k .
P10. Calcular las soluciones reales de la ecuaci´n
o
√
√
4
97 − x + 4 x = 5P11. Hallar a ∈ R de forma que la suma de los cuadrados de las ra´
ıces de
p(x) = x3 − 2ax2 + (a + 1)x − a3 sea m´
ınima y hallar dicha suma.

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