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Serie de Taylor
En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función.

La serie de una función real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciableen el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias
Que puede compactarse con esta notación:

... donde n! denota el factorial de n y ƒ (n) (a) la derivada enésima de ƒ evaluada para el valor a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a - r, a + r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si laserie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.
Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylorde una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica.


Definición
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x)infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:

Donde n! es el factorial de n y f (n) (a) denota la n-sima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x −a)0 como como 1 ( ) = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionara, la serie se denomina también de Maclaurin.
Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma siempre se puede hacer el cambio de variable (con lo que en la función a desarrollar original) para expresarla como centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quieredesarrollar la función alrededor de a = 1 se puede tomar, de manera que se desarrollaría centrada en 0.

En matemáticas, la fórmula de Euler-Maclaurin relaciona a integrales con series. Esta fórmula puede ser usada para aproximar integrales por sumas finitas o, de forma inversa, para evaluar series (finitas o infinitas) resolviendo integrales. La fórmula fue descubierta independientementepor Leonard Euler y Colín Maclaurin en 1735. Euler usó esta fórmula para calcular valores de series infinitas con convergencia lenta y Maclaurin la utilizó para calcular integrales.
La fórmula
Si z es un número correlacionar y es una función suave (suficientemente derivable) definida, entonces, la integral

Puede ser aproximada por la siguiente suma:

(Ver regla del trapecio). La fórmula deEuler-Maclaurin nos da una expresión para la diferencia entre la suma y la integral en función de derivadas de en los extremos del intervalo de integración (0 y n). Para cualquier entero positivo p, tenemos que se cumple:

Donde son los números de Bernoulli y R es una estimación del error normalmente pequeña.
Realizando un cambio de variable en la integral, se puede modificar esta fórmula parafunciones definidas en otros intervalos de la recta real.
El término de error
El término de error R es:

Donde son los polinomios de Bernoulli periódicos. El término de error se puede acotar por:

Usos
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Si es un polinomio y p es suficientemente grande, entonces el término de error R se anula, por lo que se pueden resolver series de polinomios de forma exacta. Por...