Estudio De Funciones De Varias Variables

FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Una función de varias variables es (es un escalar) es decir pertenece a R (Toma varios devuelve 1). Si entonces forma elementos del dominio y esto lo lleva a un número. Toma muchas variables devuelve un valor.
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un numero real único denotado porf(x,y). El conjunto D es el dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir {f(x,y)│(x,y) ε D}
Definición
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x,y) en D le corresponde un único número f(x,y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x,y) es el recorrido de f.Gráficas
Otro modo de representar el comportamiento de una función de dos variables es mediante su gráfica.
Si es una función de dos variables con dominio, entonces la gráfica de es el conjunto de puntos en tal que y esta en .
Ejemplo
* Hallar y trazar el dominio de
Restricciones

Entonces
{}
Gráfica #1
Otra forma de visualizar el comportamiento de una función de dos variablees considerando su gráfica.

Si f es una función de dos variables con dominio D la gráfica son los puntos
(x,y,z) que pertenecen a R3 tal que z = f(x,y)
Ejemplo
* Trace la gráfica f(x,y) = 6-3*x-2*y -> (línea en R3)
Es un plano z = 6-3*x-2*y graficamos los interceptos con los ejes
si x = y = 0 -> z = 6 -> (0,0,6)
si x = z = 0 -> y =3 -> (0,3,0)
si y = z = 0 ->x = 2 -> (2,0,0)
Gráfica #2

Ejemplo #3
Hallar y trazar el dominio de

Restricción:

Por lo tanto: {}

Grafica:

Ejemplo #4
Halle los dominios de las siguientes funciones y evalué f(3,2)

Solución,

La expresión para f tiene sentido si el denominador no es 0 y la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada es no negativa.Por tanto, el dominio de f es
≥ 0, x≠ 1}
La desigualdad describe los puntos que se encentre sobre la recta y = -x - 1, o en la región del plano encima de ella, mientras que x≠ 1 significa que los puntos que están en la recta x= deben ser excluidos del dominio.
ESTUDIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número,que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables sepueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Ejemplos: funciones lineales, de interacción, y de distancia Funciones lineales

Una función lineal de los variables x1, x2, ... , xn es una función de la forma
f(x1, x2, ... , xn) = a0 + a1x1 + ... + anxn
donde a0, a1,a2, ..., an son constantes.
Funciones de interacción
Si añadimos a una función lineal una o más terminas de la forma bxixj (b constante), obtenemos una función de interacción de la segunda orden.
Funciones de distancia
La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una función de los dos variables x y y:
d(x, y) = [(x - a)2 + (y - b)2]1/2.
(Casoespecial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al origen se expresa por
d(x, y) = [x2 + y2]1/2.
La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa por
d(x, y, z) = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]1/2.

Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables
Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como...