Estudio de la parabola y elipse

PARÁBOLA

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta llamada y una recta llamada directriz.

Gráfica:

|[pic] |

ELEMENTOS:

Vértice: V (X0, Y0)
Foco: F
Parámetro: (distancia del foco al vértice)
P = d (f, v)

Eje: (Contiene a F y V)
Directriz: L
LadoRecto: PQ = 4P
Excentricidad: e = 1

CUADRO RESUMEN

| |Caso I |Caso II |
| |(Eje vertical) |(Eje Horizontal) |
|Ecuación canónica |(X-X0)2 = 4p(Y-Y0)|( Y-Y0)2 = 4p( X-X0) |
|Ecuación general |AX2+BX+CY+D=0 |AY2+BY+CX+D=0 |
|Coordenadas del foco |(X0, Y0+p) |(X0+p, Y0) |
|Ecuación del eje |X=X0 |Y=Y0|
|Ecuación de la directriz |Y=Y0-p |X=X0-p |
|Pendiente de la tangente en el |[pic][pic] |[pic] |
|punto P(X1,Y1) | ||
|Longitud del lado recto |d(P,Q) = 4p |

ESTUDIO DE LA PARÁBOLA A PARTIR DE LA ECUACIÓN GENERAL

|NOTA: Por “estudio completo de la parábola” entenderemos señalar |
|_Vértice _Representación gráfica|
|_Orientación _Coordenadas del foco |
|_Parámetro _Ecuación de la directriz |

EJEMPLO: Hacer el estudio completo de la parábola X2 – 6X + 5Y – 26 = 0

Solución: Llevamos la ecuación a la forma canónica, agrupandotérminos:
X2 – 6X = -5Y + 26
Completando cuadrado de la izquierda:
X2 – 6X + 9 = -5Y + 35
Factorizando y reduciendo términos:
(X - 3)2 = - 5 (Y - 7)
(X - 3)2 = 4(- 5/4) (Y - 7)

Estudio de la parábola
La ecuación obtenida corresponde a una parábola con los siguientes elementos:
V (3,7) P = -5/4 Eje vertical y dado que P < 0 Es abierta hacia abajo.
Coordenadas del foco:F (3,7 – 5/4)
|F (3,23/4) |

Ecuación de la directriz:
|L[pic]4Y - 33 =0 |

L[pic]Y = 7 – (-5/4)

ELIPSE

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Gráfica:

[pic]

ELEMENTOS:

Centro: C (X0, Y0)
Vértice: A, A`, B y B`.
Foco: F y F`.
Eje mayor: d(A, A`) = 2a
Semieje mayor: [pic]d(A,A`) = d(A, C) = d(A`,C)= a
Eje menor: d(B, B`) = 2b
Semieje menor: [pic]d(B, B`) = d(B, C) = d(B`,C)= b
Distancia focal: d(F, F`) = 2c
Semidistancia focal:[pic]d(F, F`) = d(F, C) = d(F`,C)= c
Radios focales: [pic]
Directrices: l1 y l2
Lados Rectos: PQ y P`Q`
Excentricidad: e = [pic] = [pic] (e < 1)

Relación entre a, b y c: a2 = b2 + c2

CUADRO RESUMEN

||Caso II |Caso I |
| |(Eje Horizontal) |(Eje vertical) |
|Ecuación canónica |[pic] |[pic] |
|Ecuación general...