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²² Calculoo diferencial.
RECTA NUMERICA

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

La recta numérica. Aunque la imagen de arribamuestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.
Contenido * 1 Recta numérica real * 2 Topologías sobre la rectareal * 3 Véase también * 4 Referencias * 5 Enlaces externos |
Recta numérica real
La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe unacorrespondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.
Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.
Topologías sobrela recta real
Sobre la recta real se pueden definir diferentes topologías bajo las cuales la recta real tiene propiedades topológicas y geométricas, diferentes de la de la topología métrica usual.

Números reales.
Los números naturales
| Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...} |

* Con los números naturales  se puede sumar. De hecho, con laoperación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.
* Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
* El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjuntode las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.
* El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existeuna relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien.
* Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene .
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene comoelemento mínimo a 2.
* Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .
* Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la formasiguiente:
Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.
* Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:
*
*
* Dados dos números naturales , no es cierto en general que exista un...
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