Euler cob douglas

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MATEMÁTICAS III (Carrera de Economía) FUNCIONES HOMOGÉNEAS Y TEOREMA DE EULER (http://www.geocities.com/ajlasa) Las funciones homogéneas ocupan un lugar central en los modelos estándar de la teoríaeconómica. Es por ello que es importante conocer algunas características de estas funciones. Definición: Una función real f ( x , y ) se dice que es homogénea de grado k si se cumple que:

f (λ x ,λy ) = λ k f ( x , y )
Para todo λ > 0 Ejemplos: 1. La función lineal z = f ( x , y ) = a x + b y es homogénea de grado 1. Veamos:

f (λ x , λ y ) = a (λ x ) + b (λ y ) = λ1 (ax + by ) = λ1 z
2. Lafunción cuadrática z = f ( x , y ) = a x y es homogénea de grado 2.

f (λ x , λ y ) = a (λ x )(λ y ) = λ 2 (a x y ) = λ2 z
3. La función z = f ( x , y ) = 3 x y + y + x y es homogénea de grado 3.En
2 3 2

efecto:

1

f (λ x , λ y ) = 3 (λ x )(λ y ) + (λ y ) + (λ x ) (λ y )
2 3 2

) ( ) ( ) = 3 (λ 3 xy 2 ) + (λ 3 y 3 ) + (λ 3 x 2 y) = λ 3 (3 xy 2 + y 3 + x 2 y)
= λ3 z

= 3 (λ x )λ 2 y 2 + λ 3 y 3 + λ 2 x 2 (λ y )

(

Una función especialmente importante en economía es la función Cobb-Douglas. Aunque también se utilizan funciones de este tipo para modelar la utilidad delconsumidor, la aplicación original hecha por Cobb y Douglas fue la función de producción:

y = f ( K , L) = A K α Lβ
Donde: y es el nivel máximo de producción que puede realizarse con el insumo decapital K y el insumo de trabajo L y A es un índice que representa el estado de la tecnología. (Ver la nota de clase “Tecnología de Producción”). Veremos que esta función de producción es homogénea degrado α + β :

f (λ K , λ L) = A (λ K ) (λ L)

α

β

= A λα K α λ β Lβ = A λαλ β K α Lβ = λα+β A K α Lβ = λα+β y

(

)(

)

Es importante subrayar que en el caso en que α + β = 1 elvalor de la función de producción crece en la misma escala en que crecen los insumos de capital y trabajo. Por ello, en este caso tenemos que la función de producción “exhibe rendimientos constantes...
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