Exámen Calculo Diferencial e Integral

Examen 2 C´lculo Diferencial e Integral II a 1. Demuestre que • •
∞ 1 k=1 k2 +k ∞ k−1 k=1 2k+1

=1 =2

2. Pruebe que si {ak }es una sucesi´n no creciente de t´rminos positivos y o e ∞ lim ak = 0, entonces k=1 (−1)k+1 ak converge. 3. Pruebe que siconvergen. ak es absolutamente convergente entonces a2 y k
ak k

4. Sea x un entero no negativo. Pruebe que la siguiente serie converge1 , (n + x)(n + x + 1)(n + x + 2) n=1 y calcule el valor al que converge. 5. Dada una serie convergente en la que cada an ≥ 0probar que converge si p > 1/2. Dar un contraejemplo para p = 1/2. 6. ¿Para qu´ valores de x, e
n→∞ xn 2n ∞

√

an n−p

y

n2(x − 1)n convergen?

7. Pruebe que si lim |an |1/n = α(α = 0), entonces el intervalo (−1/α, 1/α) es el intervalo de convergenciade la serie an xn .
1 a 8. Demuestra que n np diverge si p ≤ 1 y converge para p > 1. Sea adem´s 0 < α < β < 1 ¿Que puede decirsobre la convergencia de la serie

1 1 1 1 + β + α + β + · · ·? 1α 2 3 4 9. Compruebe que
1 n(n+1)

<

para el valor de laserie

1 . D´ valores num´ricos expl´ e e ıcitos. n2 n=1

1 n2 ∞

<

1 n(n−1)

y halle una cota superior e inferior

10.¿Cuales de las siguientes series convergen absolutamente?
∞

•

(−1)n+1
n=1

1 1 n 2n

•

1 (−1)n √ 4n n=1

∞

1