Examenes de Calculo 3

Matemáticas Para Ing. III

FO.ES.F.01
Examen: Primer parcial
Cbba. 4, Junio, 2010
Docentes: Raúl Beltrán, Santiago Relos

Apellidos y nombres: .................................................................
Carrera:............................................. Firma:..............................
1. (10 pts) Resolver:

(1 − z)3 = z 3 (1 + i)

2. (20 pts) Determinar la imagen delconjunto
D = {z : |z| ≤ 2}
mediante la función f (z) =

1
z

3. (20 pts)
(a) Probar que si |z| = 3, entonces

z2 − 2
≤ 11
z 2 + 10

(b) Hallar:
2+i
6i − (1 − 2i)

3

4. (20 pts) Determinar los valores de a y b para que f (z) = (b + 1) x + ay + i (−bx − ay) sea
diferenciable.
5. (20 pts) Resolver:
(a)
ez+1−i = 1 + i
(b)
cos (iz) = 2
Tiempo: 110 minutos

Soluciones
1.(10 pts) Resolver:

(1 − z)3 = z 3 (1 + i)

Sol. De la ecuación dada se obtiene:
1 − z = zw, donde w = (1 + i)1/3
por tanto:

1
1+w
por tanto sólo falta calcular las raíces cúbicas de 1 + i, para este fin notemos que:
z=

1 + i = 21/2 eiπ/4
por tanto las raíces son:
wk = 21/6 ei

π/4+2kπ
3

1

π(1+8k)
12

1

π

= 2 6 ei

, k = 0, 1, 2

Con k = 0 :
w0 = 2 6 ei 12
1= 2 6 cos

π
π
+ i sin
12
12

Con k = 1:
1

w1 = 2 6 ei
1

= 26

π(9)
12

cos

3π
3π
+ i sin
4
4

Con k = 2 :
1

w2 = 2 6 ei
1

= 26

π(17)
12

cos

17π
17π
+ i sin
12
12

por tanto las tres soluciones son:
z0 =

1
1+2

z1 =
z2 =

1
6

π
π
cos 12 + i sin 12

= . 47065 − 6. 5603 × 10−2 i

1
1+2

1
6

cos

3π
4

+ i sin 3π4

1
1+2

1
6

cos

17π
12

+ i sin 17π
12

= . 30676 − 1. 1802i
= . 42259 + . 64579i

2. (20 pts) Determinar la imagen del conjunto
D = {z : |z| ≤ 2}
mediante la función f (z) = 1 .
z
Sol. Las ecuaciones de transformación son:
x
+ y2
−y
2 + y2
x

u =

x2

v =

La frontera de la región D satisface x2 + y2 = 4, por tanto:
x
4
y
v = −
4

u =

de dondeu2 + v 2 =

x2 + y 2
1
=
16
4

Por tanto la circunferencia de radio 2 se tranforma en la circunferencia de radio 1 , la imagen
2
del conjunto D es esta circunferencia y toda la región fuera de ella.
3. (20 pts)
(a) Probar que si |z| = 3, entonces
Sol. Por una parte:
por otra:

z2 − 2
≤ 11
z 2 + 10

z 2 − 2 ≤ |z|2 + 2 = 11, ...(1)
z 2 + 10 ≥ 10 − |z|2 = 1

luego:
|z 2

de(1) y (2):

1
≤ 1 ... (2)
+ 10|

z2 − 2
≤ 11.
|z 2 + 10|
(b) Hallar:

Sol. − 4986 +
653

3077
653 i

2+i
6i − (1 − 2i)

3

4. (20 pts) Determinar los valores de a y b para que f (z) = (b + 1) x + ay + i (−bx − ay) sea
diferenciable.
Sol. Para que f sea diferenciable, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se deben cumplir, esto
es:
b + 1 = −a
a = b
por tanto la únicaposibilidad es: a = b = − 1 .
2
5. (20 pts) Resolver:
(a)
ez+1−i = 1 + i
Sol. Con z = x + iy :
ex+1 ei(y−1) =

√ iπ
2e 4

por tanto:
ex+1 =
y−1 =

√
2
π
+ 2kπ, k = 0, ±1, . . .
4

de donde deducimos que las soluciones son:
√
π
z = ln
2 − 1 + i 1 + + 2kπ , k = 0, ±1, . . .
4
(b)
cos (iz) = 2
Sol.
e−z + ez = 4
(a) multiplicando por ez :

(ez )2 − 4ez + 1 = 0

por tanto:e

z

√
16 − 4
=
2
√
= 2± 3
√
= 2 ± 3 ei0
4±

con z = x + iy se ontiene:
ex eiy = 2 ±

√
3 ei0

de donde:
ex =

2±

√
3

y = 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .

por tanto las soluciones son:
z = ln 2 ±

√
3 + i2kπ, ±1, ±2, . . .

(b) multiplicando por e−z : se obtiene:
z = − ln 2 ±

√
3 − i2kπ, , ±1, ±2, . . .

Matemáticas Para Ing. III

FO.ES.F.01
Examen:Segundo parcial
Cbba. 17, Junio, 2010
Docentes: Raúl Beltrán, Santiago Relos

Apellidos y nombres: .................................................................
Carrera:............................................. Firma:..............................
1. (10 pts)
(a) ¿Es cierto que toda función definida en un intervalo [0, P ] tiene serie de Fourier?
(b) ¿Es cierto que cos (3πx) y sin...