Expo Metodos

EXPOSICIONES METODOS NUMÉRICOS

TEOREMA DE ROLLE





Si una función es:
Continua en [a, b]
Derivable en (a, b)
Y si f(a) = f(b)
Entonces, existe algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] dela función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.


En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.


Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?
En primer lugarcalculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en .
Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.


3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.
La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ·
Teorema de Bolzano.
f(−1) = −1
f(0)= 3
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 7x6 + 3
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.
Ejemplo Matlab
syms x t w % declaracion de un objeto simbolico
v = []; % variable auxiliar
% ------------------------------- Ejemplo 1-------------------------------
y_1 = 4*x^3-9*x; % funcion dada
disp('--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------');
disp('y_1(x) = ')
pretty(y_1)
disp('|')
disp(' Teorema de Rolle')
% En este problema la cota inferior es -1.5 y la superior es 1.5
a_1 = input('cota inferior: ') % captura una entrada en la ventana de
b_1 = input('cota superior: ') % comandos
disp('')
disp('Verificando lashipotesis del teorema de Rolle')
disp('i) derivada de la funcion y_1(x) = ')
der_1 = diff(y_1,x); % derivada de una funcion
pretty(der_1)
y1 = sym2poly(y_1); % pasa los coeficientes de una funcion
% polinomial a un vector
disp('ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ')
r_1 = roots(y1) % devuelve las raices de una funcion polinomial
v = [a_1 b_1]; % las cotas de entrada se guardan en unvector
% ciclo for para evaluar las 2 raices
for n = 1:2
y_11(n) = 4*v(n).^3-9.*v(n);% funcion dada, igual que la simbolica,
end % se utilizara como auxiliar para evaluar
% la funcion en la cota inferior y superior
% condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii)
if(y_11(1) ~= 0)
disp('no se cumple la condicion iii, f(a) = f(b) = 0 !!!')
break
else
disp('se cumple lacondicion iii), f(a) = f(b) = 0 !!!')
end
% encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema
d1 = sym2poly(der_1); % captura los coeficientes de la derivada
disp('raices que satistacen Dx(y(x)) = 0')
r_2 = roots(d1)
w = r_2; % variable auxiliar para evaluar la funcion
% en sus puntos criticos
for n = 1 : 2
y_12(n) = 4*w(n).^3-9.*w(n); % funcion original evaluada en los puntos
% criticosend
figure('Name','Ejemplo 1')
ezplot(y_1,[a_1 b_1])
hold on
grid
axis([-1.5 1.5 -8 8])
for n = 1:2
y_t(n) = y_12(n); % variable auxiliar
y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) % los elementos de un vector los pasa
% a una funcion polinomial simbolica
ezplot(y_t1(n))
end
title('y_{1} = 4*x^3-9*x')
disp('-----------------------')

Datos utilizados
Ecuación 4*x^3-9*x , Cota inferior es -1.5 y la superior es 1.5RESULTADO


TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE


Si f es una función en la que se cumple que:
f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)

Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que:
A continuación se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. El teorema afirma que si la...