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FACULTAD DE INGENIER´IA DE SISTEMAS Y COMPUTACION
Escuela Acad´emico Profesional de Ing. de Sistemas y computaci´on

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TRABAJO MONOGRAFICO:

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Docente: Lic. GARC´IA SAEZ, Edwin Carlos
Alumno: DE LA CRUZ MEZA, Kevin Gustavo

Ayacucho - Per´
u

*
Quiero dedicarle este trabajo A Dios que me ha dado la vida y fortaleza para terminar este proyecto deinvestigaci´
on, A mis Padres por estar
ah´ı cuando m´
as los necesit´e.
*Agradecimientos
Esta monograf´ıa fue un proceso de aprendizaje y experimentaci´on personal, que necesito de la paciencia de mucha gente para llegar a buen
t´ermino. Por esto, agradezco mucho a mi Profesor GARC´IA SAEZ, Edwin Carlos, porque d´ıa a d´ıa, clase a clase y tema a tema pudo inducir
en m´ı una visi´on mas amplia sobreel curso.
Tambi´en agradezco a mis compa˜
neros, por su apoyo y motivaci´on a seguir adelante. Gracias. *Introducci´on
Hasta el momento hemos trabajado con funci´on de una sola variable, es decir, que van de R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones
escalares, que reciben un vector de Rn y devuelven un valor de R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de Rn y devuelven uno
de Rm. Ladificultad de estas funciones reside en que no tienen representaci´on gr´afica posible, a excepci´on de las funciones de R2 en R, que se
pueden representar como superficies tridimensionales. Adem´as, los c´alculos de l´ımites se complican mucho llegando a ser imposibles. Por ello
nos ocuparemos casi siempre de las m´as sencillas de este tipo de funciones, aunque toda la teor´ıa se referir´a afunciones de n variables.

´Indice

´Indice de figuras

IV

´Indice de cuadros
Introducci´on
El estudio de l´ımites y continuidad en funciones de varias variables, y m´as adelante el de su diferenciabilidad, se reduce al estudio de sus
funciones componentes. Para calcular l´ımites lo podemos hacer por componentes, y la continuidad se tiene si y solo si se tiene continuidad
en cada una de lascomponentes. Por tanto lo m´as importante es saber trabajar sobre las funciones componentes que en general son lo que
denominamos campos escalares. As´ı pues el estudio de los campos escalares es fundamental. Tras algunas nociones b´asicas y definiciones nos
centraremos en el estudio de t´ecnicas sobre c´alculo de l´ımites de campos escalares y aplicaremos estas al estudio de la continuidad.

´DEFINICION:

1.
1.1.

Funciones de varias variables

Vamos a considerar funciones de

f:

n

en

m

,

n

f:

→

m

Distinguimos algunos tipos de funciones:

Si n = m = 1 hablamos de funciones reales de variable real o funciones de una variable, que son las que hemos estudiado hasta ahora,
→
Si f :
Si f :

→
n

m

→

se dice que es una funci´on vectorial.
se dice que es un campo escalar.

En general si f :n

m

→
n

→

Dominio de f = {x ∈

n

Para funciones f :

Imagen de f = {y ∈

m

decimos que es un campo vectorial.
m

se definen los conceptos de Dominio, Imagen y Gr´afica:

/f (x)

existe} ⊂

/ y = f (x) ,

Gr´afica de f = {(x, f (x)) / x ∈

n

para algun x} ⊂

Dom f } ⊂

n

x⊂

m

m

EJEMPLOS:
1

f (x, y) = Ln (4 − 2y + x)
Soluci´on:
Para que la funci´on est´e bien definida y sea un n´
umeroreal se tiene que cumplir que:
4 − 2y + x > 0, entonces:
Dom f = {(x, y) /4 − 2y + x > 0}
Sabemos que la representaci´on gr´afica de esta regi´on del plano es un semiplano por ser una desigualdad lineal. Para determinar el semiplano
r´apidamente, primero graficamos la recta 4 − 2y + x = 0, punteada pues los puntos sobre la recta no satisface la desigualdad.

Figura 1:
luego tomamos un punto deprueba fuera del la recta, si este punto satisface la desigualdad el semiplano es donde est´a este punto, en caso
que no se cumpla la desigualdad el conjunto soluci´on es el otro semiplano.
El punto escogido es de nuevo (0, 0) porque est´a fuera de la curva 4 − 2y + x = 0. Como el punto (0, 0) satisface la desigualdad 4 − 2y + x > 0,
entonces el dominio de la funci´on es el semiplano que contiene...