Física

Una Incursión por el Sólido Rígido

Un sólido rígido ideal es un conjunto de partículas mj, cuyas distancias relativas dij=rj-ri, se mantienen constantes. Cuando en los sólidos reales se pueden despreciar los inevitables cambios en la forma y en el volumen, se pueden tratar como sólidos rígidos ideales.
Para poder describir la mecánica del sólido rígido es conveniente la elección precisa delos sistemas referenciales necesarios. Esta descripción se simplifica si elegimos tres sistemas de referencia: uno, Kf, fijo en un punto exterior al sólido, otro, k1, fijo en un punto del sólido (x0,y0,z0), con los ejes siempre paralelos a Kf, es decir, no gira con el sólido. Y, finalmente, un tercer sistema referencia, k2, que tendría su origen en el mismo punto origen, (x0,y0,z0), de K1, perogiraría con el sólido.
El movimiento de K2 con respecto a K1 nos permitirá, en definitiva, el estudio de un sólido ideal con un punto fijo, dotado de un movimiento rotacional.
Asimismo, cualquier posición en el espacio del sólido rígido queda determinada con respecto al sistema exterior fijo, Kf, por el vector de posición del origen común de los sistemas K1 y K2, y los tres ángulos (A,B,C) queorientan al sistema K2 con respecto al sistemas K1. En definitiva, el sólido rígido puede estudiarse como un sistema con seis grados de libertad: x0,y0,z0, A,B,C.

1. Las magnitudes fundamentales

1.1. Velocidad

Supongamos que sea w la velocidad instantánea de rotación del sólido y tomemos un punto P cualquiera para encontrar la expresión de su velocidad.
Si elegimos un punto O del eje derotación instantáneo del sólido como punto de referencia, será OP el vector de posición del punto P dado. La velocidad lineal instantánea de rotación del punto P viene dada por . Por lo que la velocidad de P será la suma de la velocidad de traslación del eje de rotación, que es la velocidad de traslación del sólido, más su velocidad debida a la rotación. O sea:

Si en lugar de usar como origende referencia un punto O del eje de rotación instantáneo, tomamos otro punto O’ cualquiera del sólido, se tiene que su velocidad de este punto O’ respecto al punto O anterior es, de forma análoga:

por lo que, si restamos ambas expresiones, se tiene:

O sea, también se puede expresar la velocidad de P con respecto a otro punto cualquiera O’ por

donde ahora es la velocidad del punto O’arbitrario de referencia, no necesariamente la velocidad de traslación del sólido.
Se puede enunciar, en definitiva, este teorema:
La velocidad de un punto cualquiera P de un sólido rígido es la suma vectorial de la velocidad de un punto de referencia O cualquiera más la velocidad lineal de P respecto al eje de rotación instantánea del sólido. Si el punto O de referencia elegido es un punto deleje de rotación, la velocidad de este punto O es precisamente la velocidad de traslación del sólido.
Consecuencia: La velocidad instantánea de rotación del sólido es un invariante. Es decir, puede considerarse un vector libre, aun cuando el eje de giro cambia con el origen que se tome. También es un invariante, obviamente, la velocidad V0 de traslación del sólido.
En general los vectores quedefinen la velocidad de traslación del sólido, Vo, y la velocidad instantánea de rotación, w, son oblicuos, presentando Vo dos componentes con respecto a al eje de giro, una perpendicular y otra paralela.
Muchas veces conviene en utilizar, para simplificar las expresiones, un punto Cm del eje de rotación en donde se verifica que la suma total de las expresiones mj.rj de la masa de cada punto porsu vector de posición respecto a dicho punto es cero. Este punto se llama Centro de Masas o Centro de Inercia del sólido.

1.2. Energía Cinética

Podemos calcular la energía cinética del sólido como la suma algebraica de las energías cinéticas de todos los puntos del mismo:

Utilizando la expresión de la velocidad de cada punto con respecto a un origen situado en el eje de rotación del...