Factorizacion de anillos

Módulo IV FACTORIZACIÓN EN ANILLOS CONMUTATIVOS.

Eduardo Cabrera de Arrizabalaga (profesor guía), Eduardo González, Pablo Ossa & Oliver Tapia (tesistas 2007)

Capítulo 4: Factorización en Anillos conmutativos

Capítulo 4 FACTORIZACIÓN EN ANILLOS CONMUTATIVOS

En este capítulo, se desarrollarán algunos teoremas y definiciones asociados al concepto de divisibilidad de números, pero vistosdesde la mirada del anillo conmutativo al cual pertenecen dichos números, los cuales son elementos de éste. Además se desarrollan las características más relevantes de los dominios más importantes y la relación entre éstos como estructuras y el comportamiento de sus elementos. Es importante la introducción de los conceptos de elementos (o números) primos, irreducibles y más aún las ideas deelementos maximales (mcd) y minimales (mcm) de factorización, propios de la teoría de números.

Definición 1: Sea A un anillo conmutativo con identidad, dados
a, b ∈ A diremos que a divide a b si existe c ∈ A tal que b = a ⋅ c

Nota: a divide a b lo anotaremos como a | b .

Proposiciones: Sea a , b , b1 , b2 , d , d 1 , d 2 ∈ A anillo conmutativo
con identidad, se tiene: 1.- a | b entonces a |b ⋅ d , ∀d ≠ 0 2.- a | b1 y a | b2 entonces a | b1 + b2 3.- a | b1 y a | b2 entonces a | b1 ⋅ d1 + b2 ⋅ d 2

Eduardo Cabrera de Arrizabalaga (profesor guía), Eduardo González, Pablo Ossa & Oliver Tapia (tesistas 2007)

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Capítulo 4: Factorización en Anillos conmutativos

Demostración:
1.- Si a | b entonces existe c ∈ A tal que b = a ⋅ c , aplicando ⋅ d por la derecha se tiene, b ⋅ d =( a ⋅ c ) ⋅ d , se tiene

b ⋅ d = a ⋅ ( c ⋅ d ) , por

asociatividad en A , luego tomando c ⋅ d = e ∈ A , resulta b ⋅ d = a ⋅ e Es decir a | b ⋅ d , por lo tanto si a | b entonces a | b ⋅ d 2.- Si a | b1 , a | b2 por demostrar a | b1 + b2 Si a | b1 entonces existe r ∈ A tal que b1 = a ⋅ r Si a | b2 entonces existe t ∈ A tal que b2 = a ⋅ t De ambas condiciones se tiene
b1 + b2 = a ⋅ r + a ⋅ t,

∀d ≠ 0

Luego

b1 + b2 = a ⋅ ( r + t ) , por distributividad, podemos decir que

a | b1 + b2 , por lo tanto a | b1 + b2 cuando a | b1 y a | b2
3.- Si a | b1 , a | b2 por demostrar a | b1 ⋅ d1 + b2 ⋅ d 2 Si a | b1 entonces existe r ∈ A tal que b1 = a ⋅ r , aplicando ⋅ d1 por la derecha, con d1 ∈ A , nos resulta b1 ⋅ d1 = a ⋅ r ⋅ d1 Ahora, si a | b2 entonces existe t ∈ A tal que b2 =a ⋅ t , aplicando ⋅ d 2 por la derecha, con d 2 ∈ A , se tiene b2 ⋅ d 2 = a ⋅ t ⋅ d 2 De ambas condiciones obtenemos:

b1 ⋅ d1 + b2 ⋅ d 2 = a ⋅ r ⋅ d1 + a ⋅ t ⋅ d 2 b1 ⋅ d1 + b2 ⋅ d 2 = a ⋅ ( r ⋅ d1 + t ⋅ d 2 ) por distributividad, con r ⋅ d1 + t ⋅ d 2 ∈ A
Luego
a | b1 ⋅ d1 + b2 ⋅ d 2 , por lo tanto a | b1 ⋅ d1 + b2 ⋅ d 2 cuando

a | b1 y a | b2 .
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Eduardo Cabrera de Arrizabalaga(profesor guía), Eduardo González, Pablo Ossa & Oliver Tapia (tesistas 2007)

Capítulo 4: Factorización en Anillos conmutativos

Definición 2: Sea A anillo conmutativo con identidad, diremos que a
es asociado con b si existe u ∈U ( A) tal que a = u ⋅ b , con a, b ∈ A .

Ejemplo 1:
En ℤ , determinaremos los asociados de ( −2 )

( −2 ) = ( −1) ⋅ 2, por asociatividad en ℤ ( −2 ) = 1 ⋅ ( −2 )Luego los asociados de ( −2 ) son 2 y ( −2 )

Ejemplo 2:
En ℚ existen infinitos asociados.

Observación: La relación ( ∼ ) “ser asociado con” es una relación de
equivalencia, en efecto: i) ∼ es reflexiva: a∼a a = 1⋅ a Por lo tanto a es asociado con a ii) ∼ es simétrica: Para todo a, b ∈ A , si a ∼ b entonces b ∼ a . Si a ∼ b entonces existe u ∈U ( A) tal que a = u ⋅ b, aplicando ⋅ u −1 porla izquierda se tiene tal que a = u ⋅ b, . Notar que si u ∈U ( A) entonces u −1 ∈U ( A) . Luego si u −1 ⋅ a = b entonces b ∼ a iii) ∼ es transitiva: Para todo a, b, c ∈ A , si a ∼ b y b ∼ c entonces a ∼ c . 1) Si a ∼ b entonces existe u ∈U ( A) tal que a = u ⋅ b
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∀a ∈ A

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