Factorizacion qr

Factorizaci´n QR o
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 17 de junio de 2008

´ Indice
29.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . o 29.2. Factorizaci´n QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 29.3. Algoritmo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2

29.1.

Introducci´n o

En esta lectura veremos el proceso para obtener la factorizaci´n QR de una matriz. Esta factorizaci´n o o es utilizada para lasoluci´n por m´ o ınimos cuadrados y da un algoritmo num´rico para determinar los valores e propios de una matriz cuadrada.

29.2.

Factorizaci´n QR o

Teorema Si A es una matriz m × n con columnaslinealmente independientes, entonces A puede factorizarse en la forma A = QR (1) en la que Q es una matriz con columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior. Demostraci´n o Sean a1 ,a2 ,.. . ,an las columnas de A y sean q1 ,q2 ,. . . ,qn los vectores obtenidos al ortonormalizarlas seg´n el u proceso de Gram-Schmidt. As´ ı, Gen(a1 , a2 , . . . , an ) = Gen(q1 , q2 , . . . , qn )Definamos Q = [q1 q2 · · · qn ] Como cada ai es combinaci´n lineal de q1 ,. . . ,qn deben existir escalares rij tales que o   r1i  .  ai = r1i q1 + · · · + rni qn = Q  .  para i = 1, . . . , n . rnisiendo rji = 0 para j = i + 1, . . . , n y para i = 1, . . . n, de acuerdo     r11   .   A = [a1 · · · an ] = Q  .  · · · Q  . 0 al proceso de Gram-Schmidt. As´ ı,  r1n .  = QR .  .rnm

Figura 1: Ejemplo 1: c´lculo de la factorizaci´n QR de A. a o donde R es la matriz cuyo elemento (i, j) es rij . Las matrices buscadas son las matrices Q y R: Q tiene sus columnas ortonormalesy R es triangular superior. Asimismo R debe ser invertible pues en caso contrario Rx = 0 tendr´ infinitas soluciones y por ende tambi´n QRx = Ax = 0 contradiciendo el hecho de que las ıa e...