Factorizacion

Factorización

Cuando se multiplican dos o más expresiones para obtener su producto, a cada una de las expresiones que se multiplican se les llama “factores”. Por ejemplo, es claro que: 3 x 5 = 15, de manera que 3 y 5 son los factores de 15; de manera similar (3 + x) (5 ( y) = 15 + 5x –xy – 3y, en donde (3 + x) y (5 ( y) son los factores.

La factorización es la operación inversa a lamultiplicación y está muy relacionada con la división y consiste en encontrar los factores que dieron origen al producto en una multiplicación. De manera que se aplica el término “factorizar” o “descomponer en factores” cuando se convierte una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores.

La factorización de un monomio es un proceso realmente sencillo y se puede realizar por simpleinspección, por ejemplo los factores de 15ab son 3, 5 a y b, por tanto:

15ab = 3(5)ab

Sin embargo, la factorización de polinomios es un poco más complicada pero afortunadamente existen varias reglas para facilitar este proceso, las cuales se mencionan a continuación.

2.5.1.- Factor común

Existen expresiones algebraicas en donde todos los términos que las componen tienen un factor común.Para factorizar esta clase de polinomios basta con expresar dicho polinomio como el producto del factor común, por el resto de los términos del polinomio encerrados entre paréntesis. Ejemplos:

a) b² + 2b = b(b + 2) , puesto que ambos términos de b² y 2b, tiene como factor común “b”.
b) 10b - 30ab² = 10b (1 – 3ab)
c) 10a² - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a²)
d) 6xy3 - 9nx² + 12nx3y3 -3n²x4y3 = 3x(2y3 - 3nx + 4nx²y3- n²x3 y3)
e) 55m²n3 x + 110m²n3x² - 220m²y3 = 55m2 (n3x + 2n3x2 – 4y3)

Para verificar si la factorización es correcta, basta con multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que ser igual a la expresión que se factorizó.

Hay ocasiones en que el factor común es un polinomio, en tal caso el proceso de factorización se lleva acabo de manera similarexpresando la expresión inicial, como el producto del factor común por los demás términos encerrados entre paréntesis.

Ejemplos:

a) x(a + b) + m (a + b) = ( a + b)(x + m ), puesto que el factor común de x(a + b) y m (a + b), es el binomio (a + b).
b) 2x (a - 1) - y(a - 1) = (a - 1) (2x - y).
c) (x - a)(y + 2) + b(y +2) = (y + 2) (x - a +b).
d) ( x + 2)( x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x -1) (x + 2 - x+ 3) = (x -1) (5).
e) 5x (a² + 1) + (x + 1)(a² + 1) = (a² + 1) (5x + x + 1) = (a² + 1) (6x + 1).

2.5.2.- Factorización por agrupación de términos

Dada una expresión algebraica, este método de factorización se basa en agrupar los términos que contengan factores comunes. Por ejemplo, para factorizar: ax + bx + ay + by, se procede de la siguiente manera:

Primero, se observa que los dosprimeros términos tienen el factor común “x” y los dos últimos el factor común “y”, por ello, se agrupan los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro, precedido del signo + porque el tercer término tiene también el signo +, de manera que se obtiene:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

A continuación, se obtiene el factor común de los términos entre paréntesis:

=x (a + b) + y (a + b)

Por último, se observa que existen factor común en el resultado obtenido, por lo tanto:

ax + bx + ay + by = (a + b) (x +y)

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común y siempre que las cantidades que queden dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, seanexactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo, la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Ejemplos:

a) 3m2 - 6mn + 4m - 8n = (3m² - 6mn) + (4m - 8n) = 3m (m – 2n) + 4(m – 2n) = (3m + 4) (m – 2n)
b) 2x² - 3xy - 4x + 6y = (2x² - 4x) + (6y - 3xy) = 2x (x – 2) + 3y (2 - x) = 2x (x – 2) - 3y (x -2) = (2x – 3y) (x - 2)
c) x + z² - 2ax - 2az² = (x - 2ax) +(z² - 2az²) = x...