factorizacion

APUNTES DE OBJETO DE ESTUDIO 1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.3 Factorización:
Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:

Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.

Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumplepara ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.

Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.

La parte numérica de un término se denomina coeficiente.

Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.

Una expresión que contiene un solotérmino se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.

Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.

Una ecuaciónlineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a latercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3.

Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.

Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puedeexpresarse como el producto del número 1 por la expresión original.

Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización.

El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.

Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.

Los factores comunes son aquellosnúmeros que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.

Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.

En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada,resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.

Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).

a. Definición
Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Así, multiplicando a por a + b tenemos
a(a +b) = a2 + ab

a y a + b, que multiplicadas entre si dan como producto a2 + ab, son factores o divisores de a2 + ab.

Del mismo modo.
(x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6

Luego, x + 2 y x + 3 son factores de x2 + 5x + 6.

Descomponer en Factores o Factorar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

Factorar un Monomio
Los factores de un monomio se puedenhallar por simple inspección. Así, los factores de 15ab son 3,5, a y b. por tanto:
15ab = 3*5*a*b

Factor de un Polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por 1, y...