Fallas

Teorías de Falla – Pág. 1 de 19

República Argentina Universidad de Buenos Aires Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica

67.12 -- MECANISMOS “B”

TEORÍAS DE FALLA (TEÓRICO)

Prof. Ing. MAYER, Omar E. omayer@fi.uba.ar

SEPTIEMBRE 2 008
Agradezco los comentarios que me haya hecho mi actual Ayudante Di IORIO José María en cuanto a errores que contiene la ediciónanterior y que hicieron posible esta nueva edición corregida conforme.

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Representado un cubo elemental (lados, áreas laterales y volumen unitarios) de un dado material, sometido el mismo a un estado tridimensional de tensiones y en equilibrio, la siguiente FIGURA 01 muestra tal situación:

Y

σy τyx τyz τxy σx τzx τxz
X

τzy

σz
Z

FIGURA 01

En elmismo y recordando el teorema de Cauchy, las tensiones tangenciales

τ

actuantes en planos normales (a 90º) entre si, convergen a o divergen de la recta (intersección, arista) común a dichos planos, verificándose además:

⎜ τxy ⎥

=

⎜ τyx ⎥

;;;

⎜ τxz ⎥

=

⎜ τzx ⎥

;;;

⎜ τyz ⎥

=

⎜ τzy ⎥

Las tensiones normales σ se consideran positivas si traccionan el cubo, estoes, si están dirigidas hacía afuera del mismo y negativas si son de compresión, esto es, si están dirigidas hacia dentro del cubo. Su subíndice indica el eje cartesiano que es normal al plano en el cual actúan o bien, que es paralelo a ellas. El primer subíndice de las tensiones tangenciales τ, indica el eje coordenado que es normal al plano en el cual actúa y el segundo, el eje coordenado alcual es paralela. La siguiente FIGURA 02 indica un estado biaxial o plano de tensiones en donde tanto las tensiones normales como tangenciales, conforme la dirección de uno de los ejes coordenados, en el caso de la figura el Z, son nulas.

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Y

σy τyx τxy

σx τxy τyx
FIGURA 02

σx

X

σy

Se trata, dado un estado tensional plano o biaxial conocido odato, de conocer cuales serían las tensiones normal y tangencial actuantes sobre otros planos que los dados y que dirección tienen los planos cuando las tensiones normal y / o tangencial sobre ellos actuantes, son máximas o mínimas. Para ello “debe cortarse imaginariamente” el cubo elemental dado con un plano que forme un ángulo θ cualquiera y por lo tanto general, con la dirección del eje Y, porejemplo, según la siguiente FIGURA 03:

Y

dy

σx τxy
θ

τθ

ds

σθ

τyx

σy

X

dx

FIGURA 03

“reemplazan” la acción de la parte extraída y resultan las incógnitas del problema. Siendo que el “elemento” en estudio debe seguir permaneciendo en equilibrio; por proyección de los esfuerzos intervinientes

σθ

y

τθ

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sobre losejes X e Y y anulando dz por ser común a todos ellos, se obtiene:

σθ * ds * cos(θ) -- τθ * ds * sen(θ) -- σx * dy -- τyx * dx = 0 σθ * ds * sen(θ) + τθ * ds * cos(θ) -- σy * dx -- τxy * dy = 0
El sistema de dos ecuaciones obtenido, permite conocer las dos incógnitas

σθ

τθ, dadas las demás variables como datos del problema, por lo siendo τxy = τyx, operando algebraicamente y siendo deaplicación:
y

que y

(cos(θ))^2 + (sen(θ))^2 = 1 2 * (sen(θ))^2 = 1 -- cos(2θ) tg(θ) =

;;;; ;;;;

sen(2θ) = 2 * sen(θ) * cos(θ) 2 * (cos(θ))^2 = 1 + cos(2θ) ;;;; se obtiene:

sen(2θ) -----------------1 + cos(2θ)

σx + σy σθ = -----------2

(σx -- σy) * cos(2θ) + ----------------------------- + 2

τxy * sen(2θ)

τθ =
Obtenidas

(σy -- σx) * sen(2θ) +------------------------------ + 2

τxy * cos(2θ) θn
y

σθ

y

τθ

como función de

θ,

interesa conocer los ángulos

θt

que hacen máximas o mínimas y respectivamente

σθ

y

τθ.

Derivando las

respectivas ecuaciones respecto a θ, igualando a cero dichas derivadas y operando algebraicamente, se obtiene:

tg(2θn)

=

2 * τxy ------------ ;;;;;;; σx -- σy

tg(2θt)

-- (σx -- σy) =...