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Variable Compleja
Bernardo Acevedo .

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
Noviembre de 2006

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Contenido
1 Números Complejos
1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Clausurativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Distributiva . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
1.3.4 Modulativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Invertiva para la suma . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Invertiva para el producto . . . . . . . . . . . .
1.3.7 Leyes de los Exponentes . . . . . . . . . . . . .
1.3.8 Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Módulo y Conjugado de un número complejo . . . . . .
1.4.1 Algunas Propiedades . . . . .. . . . . . . . . .
1.5 Representación grá…ca de un número complejo . . . . .
1.6 Forma Polar de un Complejo . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Operaciones en forma Polar . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . .
1.9 LugaresGeométricos, Conjuntos y Regiones en el Plano

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Complejo

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2
2
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3
5
5
5
5
5
6
66
7
7
8
13
14
19
19
22
25
29

2 Funciones
43
2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii

iv

CONTENIDO
2.2 Algunos Tipos de funciones . . . .
2.2.1 Función polinomial de grado
2.2.2 Función Racional . . . . . .
2.2.3 Función Exponencial . . . .
2.2.4 La función logaritmo . . . .
2.2.5 Potencias de la forma zw . .

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46
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2.2.6 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Funciones trigonométricas ehiperbólicas inversas
2.3 Límites de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Propiedades de las funciones continuas . . . . . .

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77
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78
86
86

3 Derivadas
3.1 De…nición . . . . . . . . . . . . .
3.2 Algunas Propiedades . . . . . . .
3.2.1...