FICHA MATEMÁTICAS FUNCIÓN CUADRÁTICA

La funció quadràtica
La funció quadràtica y = ax2
1.

Confeccioneu les taules corresponents i representeu en els mateixos eixos de coordenades les funcions següents:
(a) f (x) = x2

(d) j(x) = −2x2

(b) g(x) = −x2

(e) m(x) = 3x2

(c) h(x) = 2x2

(f) m(x) = −3x2

On tenen el vèrtex les paràboles anteriors? De què depèn la
seva obertura? La paràbola y = 1 x2 , serà més oberta omés
2
tancada que y = x2 ? De què depèn que la paràbola sigui
còncava o sigui convexa?

Translació vertical, y = ax2 + c , i
translació horitzontal, y = a(x − h)2
2.

Estudieu la gràca de les següents funcions:
(a) f (x) = 2x2 + 1
(b) f (x) = 2x2 − 2
(c) f (x) = −x2 + 1
(d) f (x) = −x2 − 1
(e) f (x) = −3x2 + 2

La gràca de la funció f (x) = ax2 + c té les següents característiques:• Talla l'eix d'ordenades a (0, c).
• L'eix de simetria és l'eix d'ordenades: x = 0.
• Si a > 0, el vèrtex és el mínim de la funció.
• Si a < 0, el vèrtex és el màxim de la funció.
• En comparació amb la funció f (x) = x2 , la gràca està desplaçada c unitats cap amunt, si
c > 0, i c unitats cap avall, si c < 0.

2
3.

Considereu les funcions quadràtiques y = x2 − 4 i y = x2 + 4.Digueu on tenen el vèrtex cadascuna d'aquestes paràboles.
Trobeu els punts de tall de cada funció amb l'eix d'abscisses.

4.

La gràca de la funció f (x) = 4x2 és la que es mostra a la
dreta.

25

Establiu els intervals de creixement i de decreixement de
la funció.
Quin és el seu eix de simetria? Indiqueu, també, quin és
el vèrtex de la funció.
Escriviu l'equació de la paràbola que estroba desplaçada
10 unitats cap amunt respecte de f (x) = 4x2 . Quin és
el vector de translació que porta d'una a l'altra?
Escriviu l'equació de la paràbola que es troba desplaçada
2 unitats cap a la dreta. Representeu-la gràcament.
Escriviu l'equació de la paràbola que es troba desplaçada
2 unitats cap a l'esquerra. Representeu-la gràcament.

20

(a)
(b)
(c)

(d)
(e)

15

105

−5 −4 −3 −2 −1

01

2

3

4

La gràca de la funció f (x) = a (x + h)2 s'obté traslladant horitzontalment h unitats la gràca de
y = ax2 :
• Si h > 0, la translació horitzontal és cap a l'esquerra.
• Si h < 0, la translació horitzontal és cap a la dreta.
5.

Representeu gràcament la funció f (x) = −3 (x − 4)2 .
Ajuda: cal dibuixar primer y = −3x2 .

6.

Representeu enels mateixos eixos de coordenades les funcions
següents i, després feu-ne un estudi comparatiu:
2

(a) f (x) = (x − 1)

2

(b) f (x) = −2 (x − 1)
(c) f (x) = 3 (x − 1)
7.

2

Dibuixeu la gràca de la funció y = 2x2 i, a partir d'ella,
obteniu la gràca de:
2

(c) y = 2 (x − 1)

2

(d) y = 2 (x + 1)

(a) y = 2 (x − 3)
(b) y = 2 (x + 3)

2

Translació general y = a(x −h)2 + c
8.

Obteniu les gràques de les funcions següents:
2

(a) y = (x − 2) + 3

2

5

3
2

(b) y = (x + 2) + 3
2

(c) y = (x − 2) − 3
9.

La funció f (x) = (x − 3)2 + 2 és una paràbola,
Representeu-la gràcament.
(b) Quin és el seu vèrtex? Es tracta d'un màxim o d'un
mínim?
(c) Quin és el seu vèrtex de simetria?
(a)

10.

Representeu gràcament les següentsparàboles:
(a) y = (x − 4)2 − 5

(f) y = 3x2 − 2

(b) y = (x + 7)2

(g) y = −3(x − 2)2

(c) y = (x + 1)2 + 6

(h) y = −2(x − 2)2 + 2

(d) y = −(x − 1)2
(e) y = −(x + 2)2 + 1
11.

(i) y = −2(x + 5)2 − 3
(j) y = 2(x − 2)2 + 2

Considereu la paràbola f (x) = x2 − 2x + 4.
Escriviu l'equació en la forma y = (x − h)2 + k .
(b) Quin vèrtex té?
(c) Trobeu l'equació del seu eix de simetria.(d) Representeu-la gràcament.
(a)

Gràca de la funció y = ax2 + bx + c .
Estudi general d'una paràbola
La gràca de la funció f (x) = ax2 + bx + c té les següents característiques:
• Talla l'eix d'ordenades a (0, c).
• El vèrtex es troba situat a xv = −

b
.
2a

• L'eix de simetria coincideix amb la coordenada x del vèrtex: x = −
• Si a > 0, el vèrtex és el mínim de la...