Filtro butterworth

Diseño de un Filtro IIR Butterworth
Universidad de Concepción Facultad de Ingeniería Eléctrica Concepción, Chile 2010 I. INTRODUCCIÓN El objetivo es obtener el diseño de un filtro a partir de los requerimientos necesarios para un comportamiento específico. Existen diferentes tipos de filtros. Los más comunes son el Filtro Pasa Bajos (LPF), Filtro Pasa Altos (HPF), Filtro Pasa Banda (BPF) yFiltro Rechasa Banda (SBF). El filtro Butterworth es un filtro con respuesta a la frecuencia máximamente plana en la banda de paso. Para un LPF de orden n se tiene la siguiente expresión para la respuesta en frecuencia: (1) Frecuencia Pasa Banda ( )

Rodrigo Contreras D. Pablo Junge B.

Tabla 2
⎡ rad ⎤ ω p1 = 60π ⎢ ⎥ ⎣ seg ⎦ ⎡ rad ⎤ ω p2 = 100π ⎢ ⎥ ⎣ seg ⎦

Frecuencias Rechaza Banda ( )

⎡ rad⎤ ω s1 = 10π ⎢ ⎥ ⎣ seg ⎦ ⎡ rad ⎤ ω s 2 = 400π ⎢ ⎥ ⎣ seg ⎦

II. CONVERSIÓN BPF A LPF Para convertir las especificaciones dadas en la Tabla 1 correspondiente a un BPF a sus equivalentes para un LPF debemos hacer que el espectro sea simétrico. Así, debemos redefinir la frecuencia rechazabanda más alta y dejarla en ⎡ rad ⎤ . Luego aplicamos las siguientes fórmulas que nos 104π
⎢ seg ⎥ ⎣ ⎦Ecuación 1. Ecuación característica de un LPF Butterworth

De la Ecuación 1, podemos observar que claramente a medida que aumenta el valor de “n” el filtro se aproxima más a una respuesta de filtro ideal observando un aplanamiento en la banda de paso y una pendiente fuerte entre la frecuencia de paso y la frecuencia de corte. En este caso, diseñaremos un Filtro IIR Butherworth BPF, con los siguientesrequerimientos: Tabla 1 Frecuencia Pasa Banda ( ) Frecuencias Rechaza Banda ( ) Atenuación ( ) Frecuencia Muestreo = 30 [Hz] = 50 [Hz] = 5 [Hz] = 200 [Hz] < 2 [dB] > 40 [dB] = 1000 [Hz]

convierten las especificaciones de un BPF a un LPF: 1 ω p = (ω p2 − ω p1 ) 2 1 ω s = (ω s 2 − ω s1 ) 2 1 ω 0 = (ω p2 + ω p1 ) 2
Ecuación 2. Ecuaciones de conversión de un BPF a LPF Butterworth.

III.NORMALIZACÓN DE AMPLITUDES Y FRECUENCIA El parámetro paso, determina la máxima variación de la banda de

según :

Una de las técnicas mayormente utilizadas en filtros Butterworth BPF es comenzar con el diseño de un filtro Butherworth LPF para luego transformarlo a uno BPF. Pasando las frecuencias a frecuencias angulares, obtendremos:

IV. ORDEN DEL FILTRO Para obtener un comportamiento del filtroadecuado a nuestras condiciones, el orden es sumamente importante, ya que este nos especificará apartir de que orden el filtro tendrá un desempeño suficientemente ideal. Este esta dado por:

VI. RESTAURACION DE AMPLITUD Y FRECUENCIA Mediante el uso de las siguientes fórmulas obtendremos la ganancia y frecuencias desnormalizadas (restauradas), para poder luego obtener nuestra función detransferencia H(s). Tras lo anterior mensionado, tenemos:

⎛ ε2 ⎞ log ⎜ s2 ⎟ ⎝ε ⎠ n≥ ≈6 2 log(Ω)
Ecuación 3. Ecuación para obtención del orden de un LPF Butterworth.

Así, obtendremos finalmente:

V. RAICES Y GANANCIAS NORMALIZADAS Las raíces del denominador de la función de transferencia o más bien llamadas polos, nos indican donde esta función se indetermina. A su vez, estos nos hablan de laestabilidad de nuestro filtro, donde p(s),

El cálculo de los polos están dados por:

Finalmente la función de transferencia obtenida será:

Expandiendo los coeficientes del denominador obtenemos: De lo anterior obtenemos los siguientes polos:

A6 = 1 A 5 = -253.86 A 4 = 32222 A 3 = -2.5929e+06 A 2 = 1.391e+08 A1 = -4.731e+09 A 0 = 8.0453e+10

Como podemos observar, estos polos, en el planode Laplace, tienen todos su parte real negativa. Esto nos indica que nuestro filtro es ideal, ya que cumple con la condición de que todos los polos deben estar en el semiplano izquierdo. Calculamos, además, la ganancia del sistema:

H (s) =

H 0s A6 s + A5 s + A4 s + A3 s 3 + A2 s 2 + A1s + A0
6 5 4

Con este último resultado, hemos obtenido la función de transferencia de nuestro LPF el...