Finanzas

N´ cleo e imagen de una transformaci´n lineal u o
Objetivos. Definir el n´cleo y la imagen de una transformaci´n lineal, ver la relaci´n con u o o las propiedades inyectiva y suprayectiva, conoceralgunos ejemplos. Requisitos. Transformaci´n lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicaci´n, preimao o gen de un conjunto bajo una aplicaci´n. o 1. Definici´n (imagen de una transformaci´n lineal).Sean V, W espacios vectoriales o o sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicaci´n T : o im(T ) := y ∈ W : ∃x ∈ V tal que y = T (x) .2. Definici´n (n´ cleo de una transformaci´n lineal). Sean V, W espacios vectoriales o u o sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ). El n´cleo (kernel, espacio nulo) de T se define u como la preimagencompleta del vector nulo: ker(T ) := x ∈ V : T (x) = 0 . 3. Proposici´n (n´ cleo de una transformaci´n lineal es un subespacio vectorial o u o del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F ysea T ∈ L(V, W ). Entonces ker(T ) es un subespacio de V . 4. Proposici´n (imagen de una transformaci´n lineal es un subespacio vectorial o o del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre uncampo F y sea T ∈ L(V, W ). Entonces im(T ) es un subespacio de W . 5. Ejemplo (n´ cleo e imagen de la transformaci´n nula). La transformaci´n nula u o o 0V →W : V → W est´ definida mediante la f´rmulaa o ∀v ∈ V 0V →W (v) = 0W .

Es f´cil ver que ker(0) = V , im(0) = {0W }. a 6. Ejemplo (n´ cleo e imagen de la transformaci´n identidad). La transformaci´n u o o identidad I : V → V est´ definidamediante la f´rmula a o I(v) = v Obviamente ker(I) = {0}, im(I) = V . 7. Ejemplo (n´ cleo e imagen de la transformaci´n D). Consideremos el operador u o D : P n (R) → P n (R), Df = f . Entonces im(A) = Pn−1 (F), ker(A) = P 0 (F). p´gina 1 de 2 a ∀v ∈ V.

8. Ejemplo (n´ cleo e imagen de la proyecci´n en V 2 (O)). Sea P el operador de u o proyecci´n sobre 1 paralelamente a 2 . Entonces ker(P ) =...