Finanzas

4. Modelos AR(1) y ARI(1,1).
Los modelos autorregresivos son aquellos modelos ARMA(p,q)
en los que q=0. En general, vamos a denotarlos por AR(p).
En un modelo AR(p) en valor en el momento t de la serie se
expresa como una combinación lineal de las p observaciones
anteriores de la serie más la innovación:

yt = φ1 yt −1 + φ2 yt −2 + ... + φ p yt − p + at
En los modelos MA(q), el valor dela serie en el momento t se
expresa como una combinación de innovaciones. Sin
embargo, existe una relación entre los modelos AR y los
modelos MA.

Vamos a considerar, por ejemplo, el modelo MA(1)
dado por:

y t = at + θ 1 at −1
Teniendo en cuenta que
at = y t − θ 1 at −1

y sustituyendo recursivamente hacia atrás, se
obtiene la siguiente expresión:
y t = at + θ 1 y t −1 − θ 12 y t −2 + θ 13 y t −3 − ...

En la práctica, la información disponible para poder
estimar los modelos y luego predecir con ellos son
las propias observaciones de la serie. Por ello,
vamos a exigir que los modelos MA sean
invertibles. La propiedad de invertibilidad
establece que el valor presente de yt pueda
expresarse como una combinación lineal
convergente de observaciones pasadas. En elcaso concreto del modelo MA(1) esto significa que

θ1 < 1

En general, en un modelo MA(q), la condición de
invertibilidad viene dada porque las soluciones de
la siguiente ecuación
1 + θ 1 x + ... + θ q x q = 0

sean mayores que uno en módulo. Como caso
particular, podemos ver que para el modelo
MA(1), la ecuación es
1 + θ1 x = 0

Por lo que su solución es:

x = −1 / θ 1

ModeloAR(1)
En un modelo AR(p), el valor de la serie en el
momento t es una combinación lineal de las
últimas p observaciones de la variable. En el caso
más simple, el valor de la serie en el momento t
solo depende de la observación previa. El modelo
AR(1) viene dado por:
yt = c + φ1 yt −1 + at
La condición de estacionariedad es que | φ1 |< 1 . En
este caso, la media marginal viene dada por
c
E( yt ) = c + φ1E ( yt −1 ) ⇒ µ =
1−φ
El modelo puede ser también escrito como
yt − µ = φ1 ( yt −1 − µ ) + at

Las observaciones
fluctúan alrededor de µ
que es la media de la
serie.

4
3
2
1
0
-1
-2
-3
25

50

75

100

125

150

175

200

175

200

AR(1) model: y(t)=0.2*y(t-1)+a(t)

10

La media no es 5 sino
5/(1-0.2)=6.25.

9
8
7
6
5
4
3
2550

75

100

125

150

AR(1) series: y(t)=5+0.2*y(t-1)+a(t)

Función de autocorrelación de series
generadas por modelos AR(1).
a) Varianza marginal
Var ( yt ) = E ( yt − µ ) 2 = E (φ1 ( yt −1 − µ ) + at ) 2 =

φ12 E ( yt −1 − µ ) 2 + E (at ) 2 + φ1E (( yt −1 − µ )at ) ⇒
2
σ
σ2 = a2
1 − φ1

Las autocovarianzas vienen dadas por
γ (1) = E{( yt − µ )( yt −1 − µ )} = E{(φ1 (yt −1 − µ ) + at )( yt −1 − µ y )} = φ1σ 2
γ (2) = E{( yt − µ )( yt −2 − µ )} = E{(φ1 ( yt −1 − µ ) + at )( yt −2 − µ )} =
φ1γ (1) = φ12σ 2
γ (h) = E{( yt − µ )( yt −h − µ )} = E{(φ1 ( yt −1 − µ ) + at )( yt −h − µ )} =
φ1γ (h − 1) = φihσ 2

Por lo tanto, las autocorrelaciones del modelo AR(1)
vienen dadas por
ρ ( h ) = φ1h ,

h = 0 , 1, 2 ,...

Las correlaciones tienden hacia ceroexponencialmente: las observaciones alejadas en
el tiempo van teniendo menor influencia. Cuanto
mayor sea φ1 más lentamente decrecen las
correlaciones.

El parámetro φ1 está
relacionado con la
memoria de la serie.
Cuanto más cerca esté
de cero, la memoria es
más corta. A medida
que se incrementa, la
memoria es mayor y,
consecuentemente, la
dependencia con
respecto al pasado
másfuerte.

4

12

3

10

2

8

1

6

0

4

-1

2

-2

0

-3

-2
-4

-4
25

50

75

100

125

150

175

25

200

50

75

100

125

150

175

200

175

200

AR(1) series: y(t)=0.95*y(t-1)+a(t)

AR(1) series: y(t)=0.5*y(t-1)+a(t)

6

6

4

4

2

2
0

0

-2
-2

-4
-4
25

50

75

100

125

150...