finitos

Índice de la teoría
1. Presentación.
Estas lecciones sólo pretenden ser una introducción que sirva para orientar sobre los
conceptos, para un estudio más amplio se recomienda leer alguna publicación
especializada, como por ejemplo:
•

Ramón Argüelles Alvarez. “Fundamentos de Elasticidad y su Programación por
Elementos Finitos”. Bellisco, Madrid. 1992.

•

O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. “El Métodode los Elementos Finitos”. Vols 1 y 2.
CIMNE-Mc Graw Hill, 1994.

•

E. Oñate. “Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos”.
CIMNE, Barcelona. 1995

El curso próximo pueden ampliar estos temas si eligen la MATERIA OPTATIVA
(INTENSIFICACIÓN DE MECÁNICA) ANÁLISIS AVANZADO Y EXPERIMENTAL DE ESTRUCTURAS.

2. Planteamiento general del problema: Planteamiento continuo/discreto delproblema.
Se pretende definir los distintos enfoques de un problema estructural.

Con excepción de las estructuras de barras que tienen naturaleza discreta y pueden
tratarse de forma natural con métodos matriciales, la mayor parte de las estructuras en
ingeniería son de naturaleza continua. Aunque su respuesta es inherentemente
tridimensional, el calculista puede, en algunos casos y manteniendo elrigor, simplificar
su análisis considerando un comportamiento estructural de elasticidad bidimensional
(tensión o deformación plana).

σz = 0.

•

La tensión plana se caracteriza porque

•

La deformación plana se caracteriza porque

εz = 0.

Dado un problema estructural que cumpla dichas características el ingeniero se plantea
conocer en cualquier punto del dominio

Un análisis riguroso precisade la integración de las ecuaciones diferenciales que
expresan el equilibrio de un elemento diferencial genérico de la estructura. El
planteamiento matemático-analítico de dichas ecuaciones da lugar a la formulación
continua del problema.
El objetivo del MEF también es conocer los campos anteriores en cualquier punto del
dominio a partir de los valores hallados en ciertos puntos. Para ello esnecesario dividir
el dominio en subdominios (elementos finitos) formando
una malla. El planteamiento de las ecuaciones que se
obtienen y su resolución dan lugar a la formulación
discreta del problema.
Campo de desplazamientos conocidos en los nodos.
Campo de tensiones y deformaciones conocidas en los
nodos o en los puntos de integración.

3. El problema continuo. Ecuaciones básicas del
problemacontinuo:
Se pretende definir el conjunto de ecuaciones que rigen matemáticamente el problema
estructural.

El problema matemático del análisis de una estructura se formula en un dominio
(geometría y materiales) con unas condiciones de contorno en fuerzas (acciones
externas) y en desplazamientos (restricciones de los
movimientos).

El problema matemático viene definido por:
•

Relaciones cinemáticas(pequeños desplazamientos y
deformaciones).

•

Relaciones constitutivas.

•

Expresión global de equilibrio (PTV).

3.1. Relaciones cinemáticas: pequeños desplazamientos y deformaciones.
Se pretende definir la relación entre deformación y desplazamiento.

Se define como estado de tensión o deformación plana en elasticidad, aquel cuyas
secciones perpendiculares al eje prismático de la estructura sedeforman en su plano y
de manera idéntica.
Por consiguiente basta conocer la respuesta de una sección transversal de la estructura y
trabajar, por tanto, en dos dimensiones para caracterizar el comportamiento
estructural.
El campo de desplazamientos es de naturaleza vectorial y queda perfectamente
establecido si en cada punto se conocen los desplazamientos según las direcciones de los
ejescoordenados. El vector desplazamiento en un punto cualquiera se define como:

El campo de deformaciones se deduce a partir de las primeras derivadas del campo de
desplazamientos al aceptar la teoría de pequeñas deformaciones. A partir de la teoría
general de la elasticidad se obtiene:

ε

La deformación longitudinal z es nula en el caso de deformación plana pero no
necesariamente en el caso de tensión...