Fisica elipse

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ELIPSE
B
C
A
D
Y
X
F1

(-c, 0)
F2

(c, 0)
b
a
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma que sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:

Excentricidad
Unelemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón ca y se representa usualmente por la letra e
De (4) tenemos
e= ca = a2- b2a < 1
Como c < a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.
Ecuación de la elipse con centro en el origen
Consideramos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. los focos F1 y F2 están en eleje X. como el centro O es el punto medio del segmento F1F2, las coordenadas de F1 y F2 serán, por ejemplo, (c, 0) y (-c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x, y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica
(1) |F1P|+|F2P|=2a
En donde a es una constante positiva mayor que c
|F1P|= (x-c)2+y2,|F2P|= (x+c)2+y2,
De manera que la condición geométrica esta expresada analíticamente por la ecuación
(2) (x-c)2+y2 + (x+c)2+y2 = 2a
Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da
cx + a2=a(x+c)2+y2
Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos
c2x2 + 2a2cx + a4 = a2x2 +2a2cx + a2c 2 +a2y2
De donde
(3) (a2-c2)x2 + a2y2 = a2(a2-c2)
Como 2a> 2c es a2>c2 y a2-c2 es un numero positivo que puede ser reemplazado por el numero positivo b2, es decir,
(4) b2= a2 - c2
Si en (3) reemplazamos a2-c2 por b2, obtenemos
b2x2 + a2y2 = a2b2,
Dividiendo por a2b2, se obtiene, finalmente(5) x2a2+y2b2=1
Por ser a y –a las intersecciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V1 y V2 son (a, 0) y (-a, 0), respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intersecciones con el eje Y son b y –b. Por tanto, las coordenadas de los extremosA1 y A2 del eje menor es igual a 2b.
Considerando ahora el caso en que el centro de la elipse este en el origen pero su eje focal coincide con el eje Y. las coordenadas de os focos son entonces (0, c) y (0, -c). En este caso, por el mismo procedimiento empleado para reducir la ecuación (5) hallamos que la ecuación de la elipse es
x2b2+y2a2=1
Recíprocamente, sea P1(x1, y1) un punto cualquieracuyas coordenadas satisfacen la ecuación (5), de manera que
(6) x12a2+y12b2
Invirtiendo el orden de las operaciones efectuadas para pasar de la ecuación (2) a (5), y dando la debida interpretación a los signos de los radicales podemos demostrar que la ecuación (6) conduce a la ecuación
(x1-c)2+y12+ (x1+c)2+y12
Ecuación de la elipse de centro (h, k)
Consideramos la elipse cuyo centro está enel punto (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X. Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. Si los ejes son trasladados de manera que el nuevo origen coincida con el centro (h, k) de la elipse, con referencia a los nuevos ejes X1 y Y1 esta dada por
x12a2+y12b2=1
De la ecuación puede referirse la ecuación de la elipse a los ejes originales X y YDonde:
X=x1 + h, y= y1 + k
X1= x – h, y1= y – k
Sustituimos estos valores en la ecuación y obtenemos
(x-h)2a2+(y-k)2b2=1
Análogamente podemos demostrar que la elipse cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por ecuación
(x-h)2b2+(y-k)2a2=1

Ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h, k)

Con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas...
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