Fisica

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TEORIA DE CAUCHY

1. Introducción.-
Los éxitos logrados con la teoría local de Cauchy invitan a ‘refinar’ las herramientas básicas —teorema de Cauchy, formula de Cauchy— para ampliar su alcance.
Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos estrellados, solo hemos averiguado propiedades de las funciones holoformas que dependen en última instancia delcomportamiento de la función en un entorno de cada punto de su dominio (propiedades de carácter local). Si queremos estudiar propiedades de carácter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la formula de Cauchy en abiertos cualesquiera.
Con este propósito extenderemos la integración a colecciones de caminos cerrados’ (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos homólogosrespecto de un abierto. Así podremos obtener una versión muy general de la formula y del teorema de Cauchy en el teorema homologado de Cauchy, viendo además que son justamente los ciclos homólogos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de toda función holoforma en el abierto: en otras palabras, los ciclos más generales para los que va a ser valido el teorema de Cauchy si no imponemosrestricciones al abierto. En el plano practico, esto nos libera de la búsqueda (engorrosa a veces) de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar, mirando tan solo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que se integra sea homólogo a 0. Cerrando este capítulo aparece el concepto de conexión simple y diferentes caracterizaciones del mismo, queaclaran algunos de los comportamientos ‘anómalos’ con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el interés de saber en qué abiertos se anulan las integrales de todas las funciones hipomorfas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente conexos) los más generales en los que el teorema de Cauchy es cierto —si no queremos tener que restringir los ciclossobre los que se integra.

2. Teorema de Green.-
Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces:

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Demostración:
1
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y |

2
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Para demostrar la ecuación 1expresemos D como una región tipo I:

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Donde y son funciones continuas. Esto permite calcular la doble integral del lado derecho de la ecuación 1 como sigue:
Donde en el último paso se sigue el teorema fundamental del cálculo.
Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 1 descomponiendo como la unión de las cuatro curvas , , y como se muestra en la figura. En tomamos como elparámetro y escribimos las ecuaciones para-métricas como

y .
Entonces:
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Observe que va de derecha a izquierda, pero va de izquierda a derecha, de modo que podemos escribir las ecuaciones para-métricas de como y . Por lo tanto:
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En y , es constante, de modo tal que y
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Por lo tanto,
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|

Comparando esta expresión con la de la ecuación 3, vemos que,
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Laecuación 2 se puede probar en forma muy semejante al expresar D como una región tipo II. Entonces sumando las ecuaciones 1 y 2, obtenemos el Teorema de Green.
El teorema de Green se cumple aún para regiones que tengan uno o más hoyos, siempre que cada parte de la frontera esté orientada de modo que quede siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su dirección positiva. Basta con descomponerlaen regiones ordinarias.
3. Teorema de Cauchy.
Existen dos enunciados con el nombre de Teorema de Cauchy:
* Teorema de Cauchy (teoría de grupos)
El Teorema de Cauchy es un caso particular de los Teoremas de Sylow, este afirma que para todo grupo finito G, si existe un primo p tal que p|o(G), (p divide al orden del grupo g, donde el orden del grupo es el número de elementos de G),...
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