fisica

Unidad 4: Funciones polinomiales

4.1

4.1 Funciones polinomiales y sus gráficas

1

Funciones polinomiales y sus gráficas

OBJETIVOS


Encontrar los ceros de una función polinomial por factorización.



Dibujar la gráfica de un polinomio utilizando la multiplicidad de los ceros y su comportamiento
final.

En las secciones anteriores se han estudiado las funcionespolinomiales de grado cero f ( x )  c , las
funciones polinomiales de grado 1 o funciones lineales f ( x )  mx  b y las funciones polinomiales de
grado 2 o funciones cuadráticas f ( x )  ax 2  bx  c . En ésta sección se iniciará el estudio de las
funciones polinomiales de grado mayor que 2 y sus representaciones gráficas.

Función polinomial
Las funciones polinomiales se definen en la formasiguiente

Función Polinomial
Una función polinomial de grado n, es una función de la forma

P (x )  an x n  an 1x n 1  an 2x n 2 

 a1x  a0

donde an  0 , los números a0 , a2 , a3 , , an se llaman coeficientes del
polinomio. an es el coeficiente de la potencia más alta y se llama coeficiente
principal, a0 se llama coeficiente constante.

Por ejemplo el polinomio
P ( x )  3x5  12x 3  6x 2  x  7

es un polinomio de grado 5, que tiene como coeficiente principal 3 y como coeficiente constante −7.

Ceros reales de un polinomio
La representación gráfica de un polinomio y  P ( x ) es una curva suave y continua. Si c es un número
real tal que P (c)  0 , entonces el número c es llamado cero o raíz del polinomio P. Los ceros de un
polinomio son muy importantespues nos permiten dibujar en forma aproximada la gráfica de un
polinomio y por otro lado nos permiten factorizar el polinomio utilizando el siguiente teorema del factor
Teorema del factor
Si x  c es un cero del polinomio P ( x ) , entonces ( x  c) es un factor. En forma
equivalente, ( x  c) es un factor de P ( x ) si y solo si x  c es un cero de P ( x ) .
El siguiente teorema muestra todaslas relaciones entre los ceros reales de un polinomio, factores de
la forma ( x  c) y las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje x.

Unidad 4: Funciones polinomiales

4.1 Funciones polinomiales y sus gráficas

2

Ceros reales de un polinomio
Si P es una función polinomial y x  c es un cero del polinomio P ( x ) , entonces
las siguientes proposiciones son equivalentes yverdaderas.
1.

x  c es un cero de P.

2. x  c es una solución de la ecuación P ( x )  0 .
3. ( x  c) es un factor del polinomio P ( x ) .
4. El punto (c, 0) es una intersección de la gráfica y  P ( x ) con el eje x.

Ejemplo 1: Gráfica de un polinomio de grado 3
Construya un polinomio de grado 3 cuyos ceros son  2,

1 , 3 . Dibuje su representación gráfica
2

SoluciónCuando se conocen todos los ceros de un polinomio, se pueden encontrar sus factores
fácilmente utilizando el teorema del factor. En este ejemplo se tiene
Si x  2 es un cero entonces x  ( 2)  x  2 es un factor.
Si x  1 es un cero entonces x  1 es un factor.
2
2
Si x  3 es un cero entonces x  3 es un factor.
Un polinomio de grado 3 se obtiene multiplicando todos sus factores, es decir



P ( x )  ( x  2) x  1  x  3 
2

Al simplificar el segundo factor y desarrollar productos se obtiene





P ( x )  ( x  2) 2x  1  x  3 
2
 1  x  2  2x  1 x  3 
2
 1  2 x 2  3x  2   x  3 
2
P ( x )  1  2x 3  3x 2  11x  6 
2
Este no es el único polinomio que tiene los ceros dados, de hecho existen infinitos
polinomios que tienen losmismos ceros, que tienen como diferencia el valor de la
constante que se encuentra fuera del paréntesis que para el ejemplo es 1 . Para
2
representar en forma general a todos los polinomios que tienen los ceros dados se
puede escribir como





P ( x )  k( x  2) x  1  x  3 
2

donde k es un número real.

Unidad 4: Funciones polinomiales

3

4.1 Funciones polinomiales y...