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SUBTEMA 1.1.2. DADO UN VECTOR O CAMPO VECTORIAL EN CUALQUIER SISTEMA COORDENADO, TRANSFORMARLO A LOS OTROS DOS SISTEMAS COORDENADOS.

Gradiente en coordenadas esféricas:



=


=
= 1


= 1

=

= 1


=







Gradiente en coordenadas cilíndricas:



=







=







Analicemos el punto el punto (x,y,z)ahora construyamos un cilindro circular imaginario con eje del cilindro sobre uno de los ejes, que sin perdida de generalidad podría ser el eje z

Sea la distancia del origen al punto (x,y,z) y el ángulo formado entre el eje X y la proyección, P´, del punto P


Por lo que podemos definir:

la coordenada z al estar asociada con la altura del cilindro no cambia.Analizando esta figura el plano X-Y en la figura, podemos determinar cuales son los valores de :

Observemos que se forma el triángulo rectángulo entre los puntos A, P´ y el origen por lo que observamos es la hipotenusa del triángulo


También podemos observar que la hipotenusa del triángulo rectángulo es y que del teorema de Pitágoras tenemos:


y el ángulo puedequedar determinado, si conocemos x y y, de esa forma:

Sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas constituyen lo quese denomina sistema de referencia.
Sistemas usuales
1 Sistema de coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas es aquel que formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abcisa y ordenada.
2 Sistema de coordenadas polares
Lascoordenadas polares se definen por un eje que pasa por el origen (llamado eje polar). La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto considerado, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje polar y la recta que pasa por ambos puntos.
3 Sistema de coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano, alque se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.
4 Sistema de coordenadas esféricas
El sistema de coordenadas esféricas está formado portres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

1.1 Cambio del sistema de coordenadas cartesianas.
Traslación del origen
Pueden considerarse 2 traslaciones:
1. Según el aspecto absoluto: Al pasar a otra posición, seindican las coordenadas de dicha posición.
2. Según el aspecto relativo: Al pasar a otra posición, se indican las coordenadas a partir de la actual.
Traslación del Origen (en valores absolutos)

Traslación del origen en coordenadas cartesianas
Suponiendo que en el sistema de coordenadas inicial con origen en O las coordenadas de un punto como el A sean (xb, yA), y que el origen se traslade aO' (xO, yO); las coordenadas del punto A, respecto del sistema trasladado serán:
OA = OO' + O'A
despejando
O'A = OA - OO' = (xA, yA) - (xO, yO) = (xA - xO, yA - yO)
por tanto
x'A = xA - xO
y'A = yA - yO
z'A = zA - zO (en el caso espacial)
Traslación del Origen (en valores relativos)

Traslación Relativa
Cuando lo que se ofrece no es una coordenada final, sino un dato de...