Folleto + Inducción +Sucesiones + Y + Series
o
a
Sucesiones y series
Jeffry Chavarr´ Molina
ıa
Natalia Rodr´
ıguez Granados
7 de agosto de 2012
2
´
Indice general
1. Inducci´n y recursividad
o
5
1.1. Proposiciones l´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5
1.2. Inducci´n matem´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a
6
1.2.1. ¿Por qu´funciona el m´todo de inducci´n matem´tica? . . .
e
e
o
a
7
1.3. Aplicaci´n del m´todo de inducci´n matem´tica . . . . . . . . . . . .
o
e
o
a
8
1.3.1. Divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2. Sucesiones y Series
13
2.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.1. Sucesi´n factorial .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
14
2.1.2. Sucesiones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1.3. Paso de la forma recursiva a expl´
ıcita y viceversa . . . . . . .
17
2.1.4. Monoton´ de sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
31
2.1.5. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.1.6.Sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2.1. Convergencia y divergencia de series . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.2. Criterio de divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.2.3. Criterio de la serie Geom´trica . . . . . . . . . . . . . . .. .
e
55
2.2.4. Criterio de la serie telesc´pica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
58
2.2.5. Criterio de la integral y p−series . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.2.6. Criterios de Comparaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
69
3
4
´
INDICE GENERAL
2.2.7. Criterio de la raz´n y criterio de la ra´ . . . . . . . . . . . .
o
ız
72
2.2.8.Series alternadas y convergencia absoluta . . . . . . . . . . .
76
2.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2.3.1. C´lculo del radio e intervalo de convergencia . . . . . . . . .
a
86
2.3.2. Series de Taylor y Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.3.3. Aproximaci´n de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . .
o98
2.4. Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Cap´
ıtulo 1
Inducci´n y recursividad
o
1.1.
Proposiciones l´gicas
o
´
Definicion 1 (Proposici´n)
o
Una proposici´n es una colecci´n de s´
o
o
ımbolos sint´cticos a la cual se le puede asiga
nar uno y solo un valor de verdad: verdadero (V) o falso (F). Las proposiciones,generalmente se denotan con letras en may´scula.
u
Recordatorio
Sean P y Q dos proposiciones, las conectivas l´gicas conjunci´n (∧),
o
o
disyunci´n (∨), implicaci´n (⇒), y doble implicaci´n (⇔) generan nueo
o
o
vas proposiciones definidas cuyos valores de verdad se define a continuaci´n:
o
P
Q
P ∧Q
P
Q
P ∨Q
P
Q
P ⇒Q
P
Q
P ⇔Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
FF
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
´
Definicion 2 (Proposici´n abierta)
o
Una proposici´n abierta es una colecci´n de proposiciones indexadas a trav´s de uno
o
o
e
o varios par´metros. El conjunto m´s grande de posibles valores para los par´metros,
a
a
a
se denomina universo de discurso odominio.
Ejemplo 1
Considere la proposici´n abierta:
o
Pn : n2 + 1 es un n´mero par. Donde n ∈ IN
u
note que para diferentes valores de n la proposici´n Pn puede ser falsa o verdadera,
o
es importante entender que Pn no es una sola proposici´n, sino una familia de proo
posiciones. Donde P1 , P2 , P3 , etc, son miembros particulares de dicha familia. Para
5
6
1.2. Inducci´n...
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