formacion de racionales

NÚMEROS PRIMOS.
En
un entero p es primo si admite sólo 4 divisores
Esto es, un entero p ≠ 0 es primo ⇔ p ≠ ±1, y además los únicos divisores de p son ±p y
±1.
Ejemplo:
41 : ±1; ±41 (divisores de 41)
-13 : ±1; ±13 (divisores de -13 )
41 y –13: Son números primos
Definición: En

todo número no nulo que posee más de cuatro divisores se llama

número compuesto.
Los primeros primos son:± 2, ±3, ±5, ±7, ±11, ±13, ±17, ±19, ±23, ... ...
los números compuestos son: ± 4, ±6, ±8, ±9, ±10, ±12, ±14, ±15……
Teorema. El conjunto de los números primos es infinito.
Algunas definiciones
Dos o más números enteros no nulos se llaman coprimos o primos entre sí (PESI) o primos
relativos si sus únicos divisores comunes son 1 y -1 .
Ejm 6 y -35
Ejm 6 , 3 , -35
Dos o más números enteros nonulos son primos entre sí dos a dos, cuando tomados
de dos en dos resultan ser primos entre si
Ejm -4, 13 y 9
Ejm 6 , 3 , -35 no son PESI 2 a 2
Propiedad de la linealidad de coprimos
Dos números enteros no nulos a y b son primos entre sí, si y solo si existen dos números
enteros m y n tales que m a + n b = 1.
En el caso de los números naturales ( )
Un número natural es primo si sólo admitedos divisores
Los primeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... ...
los números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,.…
Determinación de números primos en los Naturales
1.- CRIBA DE ERATOSTENES:
Es un proceso mediante el cual se puede determinar; la sucesión de los números primos:
Ejemplo: Para hallar los números primos desde el 1 al 50

1
13
25
37

2
14
26
3849

3
15
27
39

4
16
28
40

5
17
29
41

6
18
30
42

7
19
31
43

8
20
32
44

9
21
33
45

10
22
34
46

11
23
35
47

12
24
36
48

50

1

Primero se elimina el 1, luego se eliminan los múltiplos de 2 a partir de 22, a continuación
los múltiplos de 3, a partir de 32 y así sucesivamente continuamos con todos los múltiplos
de los números primosque lo permita la tabla de los números dados.
Los números que queden sin eliminar serán primos, en este caso los primeros números
menores que 50.
2.- ¿CÓMO SABER SI UN NÚMERO ES PRIMO EN

?

Basta verificar que el número no es divisible entre ninguno de los factores primos menores
o iguales que la raíz cuadrada del valor absoluto del número.
Ejemplo: ¿El número –113 es primo?
Sabemos queo

o

o

o

113 ≅ 10,... , y además: 113≠ 2 , 3 , 5 , 7
⇒ El número –113 es un número primo.

Nota:
No se ha determinado la ley según la cual se forman y suceden los números primos.
Euler ha encontrado algunas fórmulas que son válidas hasta ciertos límites; para
determinar números primos así:
x2 + x + 41 desde x = 0 hasta x = 39
x2 + x + 17 desde x = 0 hasta x = 15
x2 + x + 29desde x = 0 hasta x = 27
Fermat:

22

n

+ 1 da algún primo.
Si n = 0 ⇒ 3
Si n = 1 ⇒ 5
Si n = 2 ⇒ 17
Si n = 3 ⇒ 257
Si n = 4 ⇒ 65 537
o

n = 5, 2 + 1 = 641 , n=5 no cumple
25

Propiedades
En

todo número primo mayor que 3 es un múltiplo de 6 más uno o múltiplo de 6

menos uno. Lo contrario no siempre se cumple.
Teorema fundamental de la Aritmética.- Todo número enteropositivo no primo y
diferente de la unidad, se puede descomponer como un producto de factores primos
positivos elevados a ciertos exponentes de manera única, esta descomposición es
llamada la descomposición canónica del número en referencia.
Ejm
60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES

2

I. El número uno.
II. Los números primos.
III. Los números compuestos.
ESTUDIO DE LOSDIVISORES POSITIVOS DE UN NÚMERO
Si un número N descompuesto en sus factores primos es: N = aα ⋅ bβ ⋅ cγ . . . qλ
Donde a, b , c, . . . , q : Factores primos,

α, β, γ, . . . , λ : Exponentes de los factores primos

los divisores de aα son :1, a, a 2 ..., aα
los divisores de b β son :1, b, b 2 ,..., b β
,...................,
los divisores de q λ son :1, q, q 2 ,..., q λ
Todos los...