FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS DEL ALGEBRA LINEAL

Tema 4
Formas bilineales y cuadr´ticas.
a
4.1.

Introducci´n.
o

Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicaci´n lineal, matriz de una
o
aplicaci´n lineal y diagonalizaci´n, estudiaremos en este tema dos familias de
o
o
funciones que tienen notable inter´s por sus aplicaciones en ´lgebra lineal y en
e
a
geometr´ anal´
ıa
ıtica. Son funciones valoradas en el espacio deescalares K y por ello
se les llama formas. La primera, las formas bilineales, son funciones definidas sobre
pares de vectores, es decir, son funciones de dos variables vectoriales. Salvando
las distancias, las formas bilineales tienen analog´ con las aplicaciones lineales:
ıas
fijada una base se pueden definir mediante matrices. Si se cambia de base, cambia
la matriz y la nueva se calcula apartir de la matriz de cambio de base. Las matrices
de la misma forma bilineal tienen el mismo rango, etc..
La otra familia, la de las formas cuadr´ticas, est´ formada por funciones de
a
a
una variable y muy emparentada con una subfamilia de las bilineales. Tambi´n se
e
definen mediante una matriz para cada base del espacio y todas las matrices de
la misma forma cuadr´tica tienen algunosinvariantes que identifican a la forma
a
cuadr´tica.
a
Como unico requisito previo para el estudio de este tema pondremos el que se
´
conozcan bien los conceptos estudiados en los temas anteriores.

1

4.2.

Formas Bilineales.

Consideremos un espacio vectorial V sobre el cuerpo K de los n´meros reales
u
o de los n´meros complejos. Denotaremos V × V al conjunto de pares ordenados
u
devectores de V .
Una aplicaci´n f que a cada par de vectores (u, v) ∈ V × V asocia un escalar
o
f (u, v) ∈ K se dice que es una forma forma bilineal si es lineal en cada una de sus
dos variables; es decir si cumple:
f (αu1 + βu2 , v) = αf (u1 , v) + βf (u2 , v) y f (u, γv1 + µv2 ) = γf (u, v1 ) + µf (u, v2 )
para todo u, u1 , u2 , v, v1 , v2 ∈ V y todo α, β, γ, µ ∈ K.
Alg´n ejemplo. Lasiguiente es forma bilineal en R3 (compruebese como ejeru
cicio).
f (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 + 4x1 y3 + 3x2 y1 − 5x2 y3 + 7x3 y1 − 5x3 y2 − 4x3 y3 ,
x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ).
Es f´cil ver que toda forma bilineal f verifica que f (0, y) = f (x, 0) = 0 y
a
f (−x, y) = f (x, −y) = −f (x, y). Adem´s, la suma de dos formas bilineales en
a
V y el producto de una forma bilineal en V porun escalares son tambi´n formas
e
bilineales en V. El conjunto de todas las formas bilineales de V es un espacio
vectorial sobre K.
Hay dos tipos distinguidos de formas bilineales. Una forma bilineal f se dice
que es bilineal sim´trica si f (u, v) = f (v, u), ∀u, v ∈ V.
e
Una forma g se dice bilineal antisim´trica si g(u, v) = −g(v, u), ∀u, v ∈ V.
e
No toda forma bilineal es sim´trica oantisim´trica, por ejemplo la siguiente es
e
e
una forma bilineal en R2 y no es sim´trica ni antisim´trica:
e
e
f (x, y) = 3x1 y1 + x1 y2 − 2x2 y2 ,

x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ).

Sin embargo, como se propone en las cuestiones y problemas, toda forma bilineal
es suma de una sim´trica y una antisim´trica.
e
e
2

Fijada una base BV = {v1 , v2 , . . . , vn }, toda forma bilineal ftiene asociada una
unica matriz B ∈ Mn , que es la definida por:
´


f (v1 , v1 ) f (v1 , v2 )

 f (v2 , v1 ) f (v2 , v2 )
B=
 ···
···

f (vn , v1 ) f (vn , v2 )


· · · f (v1 , vn )

· · · f (v2 , vn ) 
.

···
···

· · · f (vn , vn )

Obs´rvese la analog´ entre esta matriz y la de un producto escalar, que vimos
e
ıa
en el tema dos. De hecho, todo productoescalar es una forma bilineal sim´trica.
e
La matriz define la forma bilineal en el siguiente sentido:
Si X = (x1 , x2 , · · · , xn ), Y = (y1 , y2 , · · · , yn ) son las coordenadas de dos vectores x, y ∈ V entonces su imagen se calcula a trav´s de la matriz por la expresi´n:
e
o
f (x, y) = XBY t .

(4.1)

Si ahora BV es otra base de V y P ∈ Mn la matriz de cambio de base de BV a BV...