Formas bilineales y cuadraticas

Formas bilineales y Formas cuadr´ticas a

Antonia Gonz´lez G´mez a o Dep. de Matem´ticas Aplicadas a los Recursos Naturales a ETSI de Montes UPM

Formas bilineales Formas cuadr´ticas a

Dep. Mat. Aplicada E.T.S.I. de Montes

´ Indice
1. Formas bilineales: definici´n y propiedades o 2. Expresi´n matricial de una forma bilineal o 3. Relaci´n de congruencia o 4. Rango de una forma bilineal5. Formas cuadr´ticas: Definici´n y Propiedades. a o 6. Expresi´n matricial de una forma cuadr´tica. Cambios de base o a 7. Diagonalizaci´n de formas cuadr´ticas. o a 8. Estudio del signo de una forma cuadr´tica a 2 3 5 6 7 8 10 15

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1.

Definici´n y propiedades o
f : V ×V (u, v) → K → f (u, v).Definicion 1.1. Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´n n. Una aplicaci´n o o

es una forma bilineal sobre V cuando verifica que: 1. f (u + u , v) = f (u, v) + f (u , v) ∀ u, u , v ∈ V 2. f (αu, v) = αf (u, v)∀ u, v ∈ V y ∀ α ∈ K 3. f (u, v + v ) = f (u, v) + f (u, v ) ∀ u, v, v ∈ V 4. f (u, αv) = αf (u, v)∀ u, v ∈ V y ∀ α ∈ K Observar que es equivalente a verificar ∀ α, β ∈ K y ∀ u, u , v ∈ V f(αu + βu , v) = αf (u, v) + βf (u , v) ∀ α, β ∈ K y ∀ u, v, v ∈ V f (u, αv + βv ) = αf (u, v) + βf (u, v ) es decir, una aplicaci´n f : V × V → K es una forma bilineal si es lineal en cada una de sus o componentes. A partir de ahora para nosotros K = R salvo que se diga lo contrario. Ejemplo 1.1. Dado R2 , la aplicaci´n f : R2 × R2 → R definida por o f: R2 × R2 → R ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) → x1 .y2es una forma bilineal, ya que para todo (x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ) ∈ R2 y α, β ∈ K se tiene que  f (α(x1 , x2 ) + β(y1 , y2 ), (z1 , z2 )) = f ((αx1 + βy1 , αx2 + βy2 ), (z1 , z2 )) = (αx1 + βy1 )z2 ,  αf ((x1 , x2 ), (z1 , z2 )) + βf ((y1 , y2 ), (z1 , z2 )) = α(x1 .z2 ) + β(y1 .z2 ) 

Ejercicios 1.1. Comprobar que la aplicaci´n f : R2 × R2 → R definida por o f ((x1 , x2 ), (y1 ,y2 )) = x1 + y2 no es una forma bilineal. Comprobar que el producto escalar en R3 : f: R3 × R3 → R ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) → x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

es un forma bilineal sobre R3 y hacer la generalizaci´n para Rn . o P´gina 2 a

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Proposici´n 1.1. Sea f : V × V → K forma bilineal sobre V . Entonces o f(u, 0) = f (0, u) = 0 ∀u ∈ V

Definicion 1.2. Una forma bilineal f : V × V → K es sim´trica si e f (x, y) = f (y, x) ∀ x, y ∈ V.

Una forma bilineal f : V × V → K es antisim´trica o alternada si e f (x, y) = −f (y, x) ∀ x, y ∈ V.

Ejemplos 1.1. La aplicaci´n A : R2 × R2 → R con A(x, y) = 3x1 y1 + x2 y1 + x1 y2 + o 2x2 y2 es una forma bilineal sim´trica ya que: e A(y, x) = 3y1 x1 + y2 x1 + y1x2 + 2x2 y2 = A(x, y) La aplicaci´n f : R2 × R2 → R definida por f (x, y) = x1 y2 − x2 y1 verifica o f (y, x) = y1 x2 − y2 x1 = −f (x, y) As´ que f es alternada o antisim´trica. ı e Ejercicios 1.2. Comprobar 1. Toda forma bilineal antisim´trica verifica que e f (x, x) = 0 ∀x∈V

2. El producto escalar usual definido en Rn es una forma bilineal sim´trica e

2.

Expresi´n matricial de una formabilineal o

Al igual que ocurre con las aplicaciones lineales, tambi´n podemos representar una forma e bilineal definida sobre un espacio de dimensi´n finita por una matriz. o Sea f : V × V → K una forma bilineal, dim V = n, y B = {v1 , . . . , vn } una base de V . Sean x, y ∈ V y Xi , yi ∈ K para todo i = 1, . . . , n con
n n

x=
i=1

xi v i

y=
j=1

yj vj

se tiene
n n n n n n

f(x, y) = f (
i=1

xi vi , y) =
i=1

xi f (vi , y) =
i=1

xi f (vi ,
j=1

y j vj ) =
i=1

xi (
j=1

yj f (vi , vj )) = P´gina 3 a

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n n n

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=
i,j=1

xi yj f (vi , vj ) =

(
j=1 i=1

xi f (vi , vj ))yj =   y1  y2    n i=1 xi f (vi , vn ),  .  = . . yn   y1 · · · f (v1 , vn )  ...