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6 Transformada Z. Estructuras para sistemas LIT
6.1 Resumen
La trasformada Z constituye una generalizaci´n de la transformada de Fourier. Resulta de m´s o a utilidad en algunos casos, dado que es m´s manejable anal´ a ıticamente, y adem´s, converge para a un mayor conjunto de secuencias que la transformada de Fourier. La transformada Z juega en el estudio de los sistemas discretos el mismopapel que la transformada de Laplace en los sistemas anal´gicos. o Objetivo: Aprender a manejar la Transformada Z como herramienta en el estudio de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Nos centraremos en aquellos sistemas definidos por ecuaciones lineales en diferencias, as´ como en diferentes estructuras de realizaci´n de los ı o mismos. El material cubierto puede ser ampliado en los cap´ıtulos 4 y 6 del libro de texto. Duraci´n: Una sesi´n de dos horas. o o

6.2 Introducci´n te´rica o o
La transformada de Fourier, estudiada en temas anteriores, consiste en la evaluaci´n de la o transformada Z sobre la circunferencia de radio unidad en el plano complejo. La motivaci´n o para el estudio de la transformada Z arranca de las autofunciones de un sistema LIT, funciones de la forma zn . Si un sistema LIT con respuesta impulsional h[n] recibe a su entrada una se˜al n n x[n] = z0 su salida ser´: a
∞

y[n] =

n z0 k=−∞

−k h(k)z0

(6.1)

−k es decir, la entrada multiplicada por un n´mero complejo de la forma k=∞ h[k]z0 . Ese u k=−∞ valor complejo es el autovalor correspondiente a la autofunci´n z0 , y corresponde a la funci´n o n o de transferencia del sistemaevaluada en z0 . La funci´n de transferencia de un sistema se define o como la transformada Z de su respuesta impulsional, y tiene la forma: ∞

H(z) =
n=−∞

h[n]z −n

(6.2)

85

6.2.

´ PRACTICA 6. TRANSFORMADA Z. ESTRUCTURAS PARA SISTEMAS LIT

Observar que para el caso en el que z = ejω la transformada Z se reduce a la transformada de Fourier, que caracterizaba la respuesta de un sistemapara exponenciales complejas de amplitud constante presentes a la entrada.

6.2.1 Ecuaciones en diferencias
Un sistema LIT caracterizado por una ecuaci´n lineal en diferencias responde a la siguiente o relaci´n entre la entrada y la salida: o
N M

ak y[n − k] =
k=0 k=0

bk x[n − k]

(6.3)

Para calcular la funci´n de transferencia de sistemas de esa forma basta con tomar la transoformada Z en ambos lados de la igualdad y aplicar la propiedad del retardo, con lo que nos queda:
N M

ak Y (z)z
k=0

−k

=
k=0

bk X(z)z −k

(6.4)

obteniendo H(z) como el cociente entre Y (z) y X(z): H(z) =
M −k k=0 bk z N −k k=0 ak z

(6.5)

b u[n]

0

w[n]

y[n]

D

D

b1 u[n-1]
D

a1

y[n-1]
D

bM-1

a M-1

D

D

bM u[n-M]

aM y[n-M]

Figura6.1: Forma directa I En la figura 6.1 se representa un posible esquema de realizaci´n de un sistema LIT definido o por la ecuaci´n en diferencias anterior, con a0 = 1. Los coeficientes ak representan la realimeno taci´n del sistema, que provoca una respuesta impulsional h[n] de longitud infinita en general. o A pesar de esa longitud la salida es calculada recursivamente, con lo que no es necesaria la86

´ PRACTICA 6. TRANSFORMADA Z. ESTRUCTURAS PARA SISTEMAS LIT

6.2.

convoluci´n de la entrada con h[n]. Para obtener h[n] en funci´n de los coeficientes ak , bk basta o o con efectuar la transformada Z inversa de la funci´n de transferencia H(z) obtenida de la forma o anterior. Es decir, a partir de la ecuaci´n en diferencias que caracteriza un sistema se puede o obtener la respuestaimpulsional del mismo a trav´s de la transformada Z , la cual tiene la e forma expresada en la ecuaci´n (6.5). o

Ejercicio 40 La funci´n de transferencia de un sistema evaluada sobre la circunferencia o unidad da lugar a la respuesta en frecuencia de dicho sistema. En este ejercicio calcularemos ambas respuestas para un sistema determinado. Considerar el sistema siguiente: y[n] − 0.5y[n − 1] =...