Formas de conteo

TALLER DE MATEMATICA

6. FORMAS DE CONTEO

Estudia los métodos que permiten contar el número de diversos arreglos o selecciones que puede formarse con los elementos de conjuntos finitos. Entre sus aplicaciones prácticas está el cálculo de probabilidades, al permitir enumerar los casos favorables y casos posibles.

Entre las formas de conteo se encuentra:

- Principio de multiplicación- Permutaciones

- Combinaciones

1.1.PRINCIPIO DE MULTIPICACIÓN

Si un proceso puede dividirse en dos etapas o fases (simultáneas o no) y una puede realizarse de n formas diferentes y la otra de m formas diferentes, entonces el proceso puede efectuarse de n·m formas diferentes. Este resultado se puede generalizar a más de 2 etapas o fases.

Ejemplo 1: Se dispone de 3 vías para viajarde C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2?

Respuesta: 3·4=12

Ejemplo 2: Una matrícula para vehículos consta de 2 letras (considerar 26 letras del alfabeto) y a continuación 3 dígitos.

a) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las 2 letras son diferentes y también los 3 dígitos son diferentes?
Respuesta:26·25·10·9·8 = 468 000b)

b) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las letras pueden coincidir e igualmente los dígitos pueden ser iguales?

Respuesta: 26·26·10·10·10 = 676 000

1.2.PERMUTACIONES

Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Esimportante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando se varía el orden de los elementos se dice que se permutaron dichos elementos.



Vienen dadas por la fórmula:

Donde:
n= todos los elementos existentes

r= los elementos que intervienen en la ordenación. != símbolo de factorial.

Nota: Esta fórmula es válida cuando no se permite la repetición deelementos.

Ejemplo1:Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos

Solución:Sea el conjunto: {a, b, c}, entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb

Número de arreglos = 6


Ejemplo 2: Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿Decuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?



Solución: Aplicando la fórmula Donde:

n= 8 r= 3



























Ejemplo 3: Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 ¿cuántos números de 5 cifras se pueden formar?
a) ¿Cuántos de esos números empiezan por 1?
b) ¿Cuántos terminan en 5?

c) ¿Cuántos empiezanpor 1 y acaban en 5?
d) ¿Cuántos son pares?

e) ¿Cuántos son múltiplos de 5?

Solución: Números de 5 cifras que se pueden formar: P=5x4x3x2x1=120

a) En este caso la primer cifra ya la ocupa el 1, luego, tenemos 4 dígitos disponibles para las otras 4 cifras: P=4x3x2x1=24

b) En este caso la última cifra la ocupa el 5, luego tenemos 4 dígitos disponibles, para las otras 4 cifras:P=4x3x2x1=24

c) En este caso la primera cifra la ocupa el 1, y la última la ocupa el 5 luego, tenemos 3 dígitos disponibles para las otras 3 cifras: P=3x2x1=6

d) Los números pares formados con estos dígitos solamente pueden ser terminados con 2 o 4; los números terminados en

2 son: P=4x3x2x1=24 y los números terminados en 4 son: P=4x3x2x1=24. En total se tienen: 24 + 24 = 48 números pares.e) Los múltiplos de 5 son los terminados en 5; por lo tanto hay 24.

1.3. COMBINACIONES

Es la forma de organizar los elementos sin tener en cuenta el orden de ellos.



Viene dada por la fórmula:

Dado un conjunto de n elementos, se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos, de modo que cada...