Formulario de Calculo integral

Formulario General
Fórmulas de Algebra:
Productos Notables
(x+y)(x-y)=x^2-y^2
(x+y)^3= x^3+3x^2 y+3xy^2+y^3
(x-y)^3=x^3-3x^2 y+3xy^2-y^3
Logaritmos
ln⁡u+ln⁡v=ln⁡〖u.v〗
ln⁡u-ln⁡v=ln⁡〖u/v〗
ln⁡〖u^n 〗=n ln⁡u
Fórmulas de Trigonometría:
Identidades Trigonométricas Fundamentales:

sin⁡x.csc⁡x=1 cos⁡x.sec⁡x=1 tan⁡x.cot⁡x=1
tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x cot⁡〖cos⁡x/sin⁡x 〗
sin^2⁡x.cos^2⁡x=11+tan^2⁡x=sec^2⁡x 1+cot^2⁡x=csc^2⁡x

Identidades se Sumas y Diferencias:

sin⁡〖(u+v)〗=sin⁡u cos⁡v+cos⁡u sin⁡v tan⁡〖(u+v)〗=(tan⁡u+tan⁡v)/(1-tan⁡u tan⁡v )
sin⁡〖(u-v)〗=sin⁡u cos⁡v-cos⁡u sin⁡v
cos⁡〖(u+v)〗=cos⁡u cos⁡v-sin⁡u sin⁡v tan⁡〖(u-v)〗=(tan⁡u-tan⁡v)/(1+tan⁡u tan⁡v )
cos⁡〖(u-v)〗=cos⁡u cos⁡v+sin⁡u sin⁡v

Identidades para ángulos dobles y semiángulos:

sin⁡2u=2 sin⁡u cos⁡usin^2⁡〖u=〗 (1-cos⁡2u)/2
〖cos^2 u=〗⁡〖(1+cos⁡2u)/2〗
tan^2⁡u=(1-cos⁡2u)/(1+cos⁡2u )
cos⁡2u=cos^2⁡u-sin^2⁡u
cos⁡2u=1-2 sin^2⁡u
cos⁡2u=2 cos^2⁡u-1
tan⁡2u=(2 tan⁡u)/(1-tan^2⁡u )




Suma y Diferencia de Senos y Cosenos:

sin⁡s+cos⁡t=2 sin⁡((s+t)/2) cos⁡((s-t)/2) cos⁡s+cos⁡t=2 cos⁡((s+t)/2) cos⁡((s-t)/2)
sin⁡s-sin⁡t=2 cos⁡((s+t)/2) cos⁡((s-t)/2) cos⁡s-cos⁡t=-2 sin⁡((s+t)/2)sin⁡((s-t)/2)

Fórmulas de Derivadas:


Integración de las Funciones Trigonométricas:
Para: ∫▒sin^n⁡xdx ; ∫▒cos^n⁡xdx
1er Caso: n = Entero + par.
sin^2⁡x=(1-cos⁡2x)/2
cos^2⁡x= (1+cos⁡2x)/2
2do Caso: n = Entero + impar.
∫▒sin^n⁡xdx =∫▒〖sin^(n-1)⁡x sin⁡x 〗 dx
∫▒cos^n⁡xdx =∫▒〖cos^(n-1)⁡x cos⁡x 〗 dx
Usar: sin^2⁡x.cos^2⁡x=1
3er Caso: Forma Práctica.
∫▒sin⁡〖(nx)〗 dx=-cos⁡nx/n+c∫▒cos⁡〖(nx)〗 dx= sin⁡nx/n+c
4to Caso:
∫▒sin^n⁡〖(kx)〗 cos⁡〖(kx)〗 xdx=sin^(n+1)⁡〖(xk)〗/((n+1)k)+c
∫▒cos^n⁡〖(kx)sin⁡〖(kx)〗 〗 xdx= -cos^(n+1)⁡(kx)/(n+1)k+c
Para: ∫▒tan^n⁡x dx ; ∫▒cot^n⁡x dx
1er Caso: n Entero + par.
∫▒tan^n⁡xdx = ∫▒tan^(n-2)⁡x tan^2⁡x dx
∫▒cot^n⁡xdx = ∫▒cot^(n-2)⁡x cot^2⁡x dx
Luego usar:
1+tan^2⁡x=sec^2⁡x
1+cot^2⁡x=csc^2⁡x

2do Caso: n Entero + impar.∫▒tan^n⁡xdx = ∫▒tan^(n-1)⁡x tan⁡x dx=∫▒(tan^2⁡x )^((n-1)/2) tan⁡x dx
∫▒cot^n⁡xdx = ∫▒cot^(n-1)⁡x cot⁡x dx=∫▒〖(cot^2⁡x )^((n-1)/2) cot⁡x 〗 dx
Luego usar:
1+tan^2⁡x=sec^2⁡x
1+cot^2⁡x=csc^2⁡x
Para: ∫▒〖sin^m⁡x cos^n⁡x 〗 dx
1er Caso: “m” o “n” Entero + Impar y el otro Cualquier Numero.
m: Impar; n: Cualquier Numero.
∫▒〖sin^m⁡x cos^n⁡x 〗 dx=∫▒〖sin^(m-1)⁡x cos^n⁡x 〗 sin⁡x dxm: Cualquier Numero; n: Impar.
∫▒sin^m⁡x cos^n⁡x dx= sin^m⁡x cos^(n-1)⁡x cos⁡x dx
2do Caso: m y n entero + par
sin^2⁡x=(1-cos⁡2x)/2 ; cos^2⁡x= (1+cos⁡2x)/2
Convertimos de la Forma ∫▒〖sin^m⁡x cos^n⁡x 〗 dx a la Forma: ∫▒sin^m⁡x dx.
Para: ∫▒〖tan^n⁡x sec^m⁡x 〗 dx ; ∫▒〖cot^n⁡x csc^m⁡x 〗 dx
1er Caso: n: Entero Impar; m: Cualquier Numero.
∫▒〖tan^n⁡x sec^m⁡x 〗 dx= ∫▒〖tan^(n-1)⁡xsec^(m-1)⁡x tan⁡x sec⁡x 〗 dx
∫▒〖cot^n⁡x csc^m⁡x 〗 dx= ∫▒〖cot^(n-1)⁡x csc^(m-1)⁡x cot⁡x csc⁡x 〗 dx

Luego Usar:
1+tan^2⁡x=sec^2⁡x
1+cot^2⁡x=csc^2⁡x
2do Caso: m: Entero Par; n: Cualquier número.
∫▒〖tan^n⁡x sec^m⁡x 〗 dx=∫▒〖tan^n⁡x sec^(m-2)⁡x sec^2⁡x dx〗
∫▒〖cot^n⁡x csc^m⁡x 〗 dx= ∫▒〖cot^n⁡x csc^(m-2)⁡x 〗 csc^2⁡x dx
Integración por Partes:
∫▒〖u.dv〗=u.v-∫▒v du
Integraciónpor sustitución trigonométrica:
Para Integrales que contienen √(a^2-u^2 ) hacer u=a sin⁡θ
√(a^2-u^2 )=√(a^2-a^2 sin⁡θ )=√(a^2 (1-sin^2⁡〖θ)〗 )=√(a^2 cos^2⁡θ )=a cos⁡θ
cos⁡θ



Para Integrales que contienen √(u^2+a^2 ) hacer u=a tan⁡θ
√(u^2+a^2 )=√(a^2 tan^2⁡θ+a^2 )=√(a^2 (1+tan^2⁡〖θ)〗 )=a sec⁡θ
sec⁡θ



Para Integrales que contienen √(u^2-a^2 ) hacer u=a sec⁡θ
√(u^2-a^2 )=√(a^2sec^2⁡θ-a^2 )=√(a^2 (sec^2⁡θ-1))=a tan⁡θ
tan⁡θ



Integración de Funciones Racionales:
1er Caso: ∫▒〖(Ax+B)/(ax^2+bx+c) dx〗
1° completar al Cuadrado en Denominador.
Cambio de Variable.
Se remplaza y se resuelve por las primeras fórmulas de Integración.

2do Caso: Q_x se descompone en factores todos lineales y distintas:
Q_x=a_n (x-b)(x-c)(x-d)…(x-a_n)
∫▒p_x/Q_x...