Fracciones Parciales

Ecuaciones Diferenciales, Fracciones Parciales y F´rmulas de Heaviside o
Dr. Juli´n Gpe. Tapia Aguilar a E S F M – Instituto Polit´cnico Nacional e julianpe@yahoo.com.mx Agosto de 2008

´ Indice
1. Introducci´n o 2. Ra´ ıces Reales Distintas 3. Ra´ ıces Reales Repetidas 4. Factores Cuadr´ticos Irreducibles Distintos a 1 2 5 8

1.

Introducci´n o
Una fracci´n propia es por definici´naquella en donde, o o P (x) , Q(x) (1)

el grado del polinomio en el denominador Q(x) es mayor que el grado del polinomio en el numerador P (x). A veces se hace necesario escribir el cociente como una suma de fracciones en donde el denominador es lineal o cuadr´tico (en el caso de que no existan ra´ a ıces reales). Por ejemplo, como motivaci´n de esta idea, considere la integral, o 3x2 − 6x + 7 dx.x3 − 6x2 + 11x − 6 A primera vista, parece una tarea bastante complicada; sin embargo, al tomar en cuenta la factorizaci´n del denominador, o x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3),

1

le permite al m´todo que estamos a punto de estudiar, escribir la fracci´n como una “suma de e o fracciones parciales”, 3x2 − 6x + 7 = x3 − 6x2 + 11x − 6 3x2 − 6x + 7 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) A B C = + + .x−1 x−2 x−3 donde hay que determinar las constantes num´ricas A, B y C. Una vez calculadas estas constantes, e de manera inmediata, por la linealidad de la integral indefinida, procederemos con la b´squeda de u la integral como se indica a continuaci´n. o 3x2 − 6x + 7 dx = x3 − 6x2 + 11x − 6 3x2 − 6x + 7 = dx (x − 1)(x − 2)(x − 3) A B C = dx + dx + dx. x−1 x−2 x−3 = A ln(x − 1) + B ln(x − 2) + C ln(x− 3).

2.

Ra´ ıces Reales Distintas
En este caso, el polinomio Q(x) factoriza y la fracci´n se puede reescribir de la siguiente manera. o P (x) . (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak ) (2)

donde ai , i = 1, 2, 3, · · · , k denotan las ra´ ıces de Q(x). Para este caso, la descomposici´n en fracciones parciales que se propone es, o P (x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak ) A1A2 A3 Ak = + + + ··· + . x − a1 x − a2 x − a3 x − ak En este caso, Ai = P (ai ) , Q (ai ) equivalentemente, Ai = P (ai ) Qi (ai ) (3)

(4)

donde como siempre, Q (x) es la derivada con respecto de la variable independiente del polinomio Q(x), y el polinomio Qi (x) queda definido por, Qi (x) = Q(x) , (x − ai )

esto es, Qi (x) es el polinomio original Q(x) al que se le ha cancelando el factor(x − ai ). 2

Ejemplo 1 Descomponga en fracciones parciales a, s2 s−1 . +s−6

Soluci´n: En este caso la factorizaci´n es la siguiente, o o s2 s−1 s−1 A1 A2 = = + , +s−6 (s + 3)(s − 2) s+3 s−2 (5)

Con anterioridad, hemos trabajado la idea de “n´meros amigos”; aquellos n´meros que anulan al u u polinomio en el denominador Q(s). Si la propuesta expresada en la Ecuaci´n 3 se satisface,entonces, o s − 1 = A1 (s − 2) + As (s + 3). Los n´meros amigos en este caso son s = 2 y s = −3. Procedemos de la siguiente manera: u s = 2: Implica que, 2 − 1 = A1 (2 − 2) + A2 (2 + 3) = 5A2 , s = −3: Implica que, −3 − 1 = A1 (−3 − 2) + A2 (−3 + 3) = −5A1 , Las f´rmulas de Heaviside en este caso, donde o P (s) = s − 1, proponen para los coeficientes, A1 = A2 = s−1 2s + 1 s−1 2s + 1 4 −3 − 1 = , 2(−3) + 15 s=−3 1 2−1 = . = 2(2) + 1 5 s=2 = Q(s) = s2 + s − 6, ∴ Q (s) = 2s + 1, ∴ 4 A1 = . 5 ∴ 1 A2 = . 5

Las f´rmulas equivalentes requieren los polinomios, o Q1 (s) = Q2 (s) = Los coeficientes son, A1 = A2 = Los mismos resultados. 3 s−1 Q1 (s) s−1 Q2 (s) −3 − 1 4 = , −3 − 2 5 s=−3 2−1 1 = = . 2+3 5 s=2 = s2 + s − 6 (s + 3)(s − 2) = = s − 2, s+3 s+3 s2 + s − 6 (s + 3)(s − 2) = = s + 3. s−2 s−2Ejemplo 2 Regresando al problema dado como motivaci´n al inicio de este documento, vamos a o encontrar la descomposici´n en fracciones parciales del integrando: o 3x2 − 6x + 7 x3 − 6x2 + 11x − 6 = = Soluci´n: En este caso, o P (x) = 3x2 − 6x + 7, y, Q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Entonces, Ai = P (x) Q (x)
x=ai

3x2 − 6x + 7 (x − 1)(x − 2)(x − 3) A B C + + . x−1 x−2 x−3...